Tensor de curvatura

En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Riemann, o simplemente tensor de curvatura o tensor de Riemann, supone una generalización del concepto de curvatura de Gauss, definido para superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias. Representa una medida de la separación de la métrica de la variedad respecto de la métrica euclídea.

Fue introducido en 1862 por B. Riemann y desarrollado en 1869 por E. B. Christoffel como una forma de describir completamente la curvatura en cualquier número de dimensiones mediante un "pequeño monstruo": un tensor de tipo (1,3) representado generalmente por el símbolo . El valor de cualquier otra entidad que describa la curvatura de una variedad puede deducirse de este tensor. Tal es el caso del tensor de Ricci (un tensor de tipo (0,2)), de la curvatura escalar o de la curvatura seccional.

Aunque en 2 dimensiones la curvatura puede representarse por un escalar en cada punto (o tensor de orden cero), tal como hacía la curvatura de Gauss, la geometría de variedades de Riemann con dimensión mayor o igual que 3 es demasiado compleja como para describirla totalmente por un número en un punto dado. Así, en 3 dimensiones la curvatura puede representarse por un tensor de segundo orden (el tensor de Ricci). Sin embargo, para dimensiones superiores necesitaremos al menos un tensor de cuarto orden (el tensor de Riemann).

El tensor de curvatura tiene una influencia notable en la evolución de la separación de un conjunto de geodésicas inicialmente próximas, vía la ecuación de Hamilton-Jacobi. Da lugar a efectos observables de la curvatura en las fuerzas de marea que aparecen en relatividad general.

Definición

Formalmente, el tensor de curvatura está definido para toda variedad de Riemann, y, más generalmente, en toda variedad dotada de una conexión afín con o sin torsión, por la fórmula siguiente:

donde [ , ] nota el corchete de Lie.

Esta definición nos lleva a representar la curvatura es como un tensor (1,3)-valente. En geometría de Riemann, la valencia de este tensor se puede alterar: a menudo usaremos una representación equivalente como tensor (0,4). Aunque sea la definición que aparece con más frecuencia, el operador , históricamente no apareció hasta 1954. Entre tanto, se desarrolló el formalismo de Cartan, en que la conexión se expresa como una matriz de 1-formas y la curvatura como una matriz Ω de 2-formas.

Expresión en coordenadas

Dada una base cualquiera , definida como una sección del fibrado tangente, y su base dual las coordenadas del tensor de curvatura vienen dadas por:

En un sistema de coordenadas asociada a una carta local las componentes del tensor de curvatura de Riemann vienen dadas por:

( *)

Donde son los campos vectoriales asociados a cada una de las coordenadas y que juntos constituyen una base natural. La expresión (*) puede reescribirse en términos de de los símbolos de Christoffel de la siguiente manera, usando el convenio de sumación de Einstein:

Forma covariante del tensor de curvatura

Si es una variedad riemanniana, el tensor de curvatura vendrá definido a partir de la conexión de Levi-Civita. El tensor métrico podrá utilizarse para subir o bajar índices del tensor de curvatura. En particular, la versión completamente covariante del tensor es un tensor de tipo (0,4) dado por

Existen distintas definiciones de este tensor, equivalentes salvo en signo, lo que nos obliga a tener que determinar en cada caso la convención de signo del autor. En contraste, el resto de definiciones de todos los autores se ajustan para que las nociones de curvatura seccional, de Ricci o escalar permanezcan inalteradas.[1]

Expresión como conjunto de 2-formas

La conexión matemática de una variedad diferenciable y fijada una base del espacio tangente en cada punto cualquier puede expresarse mediante una matriz de 1-formas que satisfacen la siguiente relación con la derivada covariante:

Donde:

son campos vectoriales definidos sobre la variedad:

Puede probarse además que si es la base dual de la anterior la diferencial exterior de los elementos de esta base dual satisfacen:

Donde:

es el conjunto de n 2-formas de torsión

que son nulas si se usa la conexión riemanniana asociada a la métrica de Riemann de la variedad. Las 2-formas de curvatura vienen dadas simplemente por:

En general, el procedimiento de cálculo mediante las 1-formas de la conexión y 2-formas de curvatura resulta más eficiente y rápido que el cálculo directo mediante la expresión en coordenadas.

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