Tensor de Ricci

En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o simplemente, tensor de Ricci, que suele notarse por los símbolos o Ric, es un tensor simétrico bivalente obtenido como una traza del tensor de curvatura, que, como aquel, puede definirse en cualquier variedad dotada de una conexión afín. Fue introducido en 1903 por el matemático italiano G. Ricci.

En caso de estar definido en una variedad de Riemann, puede interpretarse como un Laplaciano del tensor métrico. Al igual que la métrica, el tensor de Ricci será una forma bilineal simétrica. En caso en que ambos sean proporcionales, , diremos que la variedad es una variedad de Einstein.

El tensor de Ricci determina totalmente al tensor de curvatura, si la variedad de Riemann correspondiente tiene dimensión n < 4. En relatividad general, dado que el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, el tensor de Ricci no determina por completo la curvatura.

Definición

La curvatura de Ricci puede expresarse en términos de la curvatura seccional de la manera siguiente: para un vector unitario v, <R(v), v > es suma de las curvaturas seccionales de todos los planos atravesados por el vector v y un vector de un marco ortonormal que contiene a v (hay n-1 tales planos). Aquí R(v) es la curvatura de Ricci como un operador lineal en el plano tangente, y <.,.> es el producto escalar métrico. La curvatura de Ricci contiene la misma información que todas las tales sumas sobre todos los vectores unitarios. En las dimensiones 2 y 3 éste es igual que especificar todas las curvaturas seccionales o el tensor de curvatura, pero en dimensiones más altas la curvatura de Ricci contiene menos información. Por ejemplo, las variedades de Einstein no tienen que tener curvatura constante en las dimensiones 4 y más.

Expresión en coordenadas

Usando un sistema de coordenadas natural, el tensor de curvatura de Ricci es igual a:

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