Tautología

Tautología
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Diagrama de Venn de
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Diagrama de Venn de
Nomenclatura
Puerta Lógica
Tabla de verdad

En lógica proposicional, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.[2]

Tablas de verdad

En un sistema de lógica proposicional, una interpretación es una asignación de valores de verdad (verdadero o falso) a cada una de las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren solo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera bajo todas las interpretaciones posibles de sus fórmulas atómicos. Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad de la fórmula completa. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula pq. Como a cada fórmula atómica se le puede asignar uno de dos posibles valores de verdad, entonces hay en total 22 = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa; o p es falsa y q verdadera; o ambas son falsas. Esto se puede presentar mediante una simple tabla:

Para cada una de estas interpretaciones, se puede calcular el valor de verdad de la fórmula pq. Los resultados se pueden presentar nuevamente mediante una tabla:

Esta es la tabla de verdad de la fórmula pq. Como se ve, esta fórmula solo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula que es verdadera para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, pq no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas distintas, entonces tiene 2n interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitamente largas, el número de interpretaciones posibles siempre será finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

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