Sucesión de Cauchy

En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy pequeña que sea, siempre se puede encontrar un término de la sucesión tal que la distancia entre dos términos cualesquiera posteriores es menor que la dada. Es importante no confundirlo con las sucesiones en las que la distancia entre dos términos consecutivos es cada vez menor, pues estas no son convergentes necesariamente. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy ( 1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.

En Números Reales

Definición

Sea una sucesión. Diremos que es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

donde la barra vertical denota la norma (que en el caso particular del campo de los reales sería el valor absoluto).

Análogamente, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números complejos.

Propiedades

Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:

  1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
  2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
  3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.

Pueden verse demostraciones de las propiedades en Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle, Sherbert, 2º edición, año 1996)

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