Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido N de un grupo G es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento n de N y cada g en G, el elemento gng-1 está en N. N es un subgrupo normal de G se escribe

.

Definición

un subgrupo N de un grupo G se llama subgrupo invariante o divisor normal del grupo G, si para todo elemento n de N y cualquier elemento b de G, resulta o de otra manera , para cualquier elemento [1]​.

Otra manera de poner esto, es diciendo que coinciden las clases derechas e izquierda de N en G:

Ng = gN o análogamente g -1 N g = N para todo g en G.

Un subgrupo normal puede también ser definido como: Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal si N es una unión de clases de conjugación de G.

{e} y G son siempre subgrupos normales de G. Si éstos son los únicos, entonces G se dice simple.

Todos los subgrupos N de un grupo abeliano G son normales, porque gNg-1 = Ngg-1 = N.

Los subgrupos normales de cualquier grupo G forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son { e } y G, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es un grupo producto.

Proposición

Para que las particiones en clases de congruencia por la derecha y por la izquierda según un subgrupo N coincidan, es necesario y suficiente que el subgrupo N sea invariante.

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