Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .

La construcción recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

  • El inverso de un conmutador es un conmutador.
  • G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
  • G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.
Other Languages
français: Groupe dérivé
polski: Komutant
português: Subgrupo comutador
русский: Коммутант
українська: Комутант
中文: 换位子群