Subgrupo

Las raíces de la unidad en el plano complejo forman un subgrupo del grupo circular U(1).

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.[1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir HG). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición de un subgrupo

Decimos que un subconjunto de un grupo es un subgrupo de cuando es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de restringida a los elementos de . [2]

Proposición

Sean un grupo y . El grupo se llama Subgrupo de si y sólo si:[3]

  • H contiene al elemento identidad de G: .
  • la operación binaria es cerrada en H: .
  • H contiene los elementos inversos: .

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[4]

  • .

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.[5]

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[6]

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