Sistema numérico

En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. El conjunto de los números enteros, los racionales o los reales son ejemplos de sistemas numéricos, aunque los matemáticos han creado muchos otros sistemas numéricos más abstractos para diversos fines. Además debe tenerse en cuenta que dado un sistema numérico existen diversas formas de representarlo, por ejemplo en los enteros podemos usar la representación decimal, la binaria, la hexadeciamal, etc. En los racionales podemos optar por representarlos de manera decimal o como fracción de enteros, etc.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica ( monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacer propiedades de orden ( orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas ( densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales.

Introducción

Convencionalmente diversos conjuntos dotados de "adición" y "multiplicación" se llaman sistemas numéricos. Entre estos conjuntos están los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, aunque existen otros que generalizan a algunos de los anteriores. Aunque no existe una definición formal de sistema numérico, todos los conjuntos dotados de operaciones binarias que se cuentan convencionalmente entre los sistemas numéricos tienen propiedades comunes.

En todos los sistemas numéricos convencionales hay definidas dos operaciones binarias asociativas denominadas adición y multiplicación, y además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. La adición es siempre conmutativa, aunque en algunos sistemas numéricos la multiplicación no siempre es conmutativa[1] ): Para a, b y c elementos cualesquiera de :

  • Propiedad conmutativa de la adición:
  • Propiedad asociativa de la adición:
  • Propiedad asociativa de la multiplicación:
  • Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición:

La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.

Más formalmente un sistema numérico se caracterizan por una séxtupla , donde:

es un conjunto de axiomas que definen las propiedades algebraicas de las operaciones y conjeturan la posible existencia de cierto tipo de elementos (opuestos, inversos, etc.)
es un conjunto de axiomas referidos a la teoría del orden, que dan cuenta de ciertas propiedades asociadas a las relaciones existentes entre los elementos.
es un conjunto de axiomas topológicos, que posiblemente incluyen la definición de ciertas funciones ( distancia) y propiedades (completitud, densidad, etc.)
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