Sistema axiomático

En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos[1] y el sistema axiomático de la lógica proposicional.

Historia

El primer trabajo de axiomatización se realiza en los Elementos de Euclides (siglo IV-III a. C.), vinculado a la geometría plana. Euclides enuncia cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremas de la geometría. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón y otros filósofos.

En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números.[2] Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.

Gottlob Frege, en 1884, con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y la posterior Grundsetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmética a la lógica. Bertrand Russell en su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nombre: « paradoja de Russell», y para resolverla trabajó con Alfred North Whitehead, en Principia Mathematica. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometría, y también explica los conceptos que Euclides dejó implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la línea, etc.

En el Congreso celebrado en 1900, David Hilbert planteó varios problemas, entre los que incluía la demostración de la consistencia de los axiomas de las matemáticas y la axiomatización de la física. En 1931, Kurt Gödel demostró que cualquier sistema axiomático equivalente a los axiomas de Peano es incompleto y que si este sistema es consistente, no se puede utilizar para probar su consistencia ( teorema de incompletitud de Gödel).

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