Sin pérdida de generalidad

Sin pérdida de generalidad es una expresión utilizada en las demostraciones matemáticas y que introduce una suposición particular, de tal manera que el caso general pueda mostrarse que es equivalente a ese caso particular. Cuando esto sucede, dicha suposición o elección particular es irrelevante para la demostración, y presenta la ventaja de que permite reducir la extensión de la demostración reduciendo el número de casos que hay que analizar.

A veces es recomendable indicar por qué no existe pérdida de generalidad. Por ejemplo, si una función es simétrica o periódica puede ser más fácil analizarla en un intervalo más pequeño. Asimismo, cuando varias variables tienen un papel similar, a veces no hace falta trabajar con todas sino que basta con trabajar con una de ellas o con unas pocas.

Ejemplo

Este es un ejemplo clásico del uso del principio del palomar:

Hay tres manzanas, cada una de las cuales puede ser verde o roja. Demuéstrese que, al menos, hay dos manzanas del mismo color.

Demostración: supóngase sin pérdida de generalidad que la primera manzana es roja. Si cualquiera de las otras dos manzanas es roja, hemos terminado; en caso contrario las otras dos manzanas son verdes y también hemos terminado.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la primera manzana es roja porque no hay ninguna diferencia entre que sea roja o verde para el objetivo de la demostración. Si fuera verde no habría más que cambiar los nombres de los dos colores en la demostración, y los nombres de los colores no importan ya que la demostración es igualmente correcta si cambiamos "rojo" por "verde" y viceversa.

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