Serie de los inversos de los números primos

En el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró un resultado aún más profundo:

La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge.


El teorema, es equivalente a demostrar que:

He aquí algunas de las demostraciones de este resultado.

Primera demostración (Demostración original de Euler)

Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su demostración.

En primer lugar consideró la serie armónica :

Esta serie es claramente divergente (se puede ver en el artículo serie armónica), y por supuesto, también conocido por Euler.

Usando su fórmula del producto , mostró la existencia de infinitos números primos como sigue:

Aquí, el producto es sobre todos los números primos, o dicho de otra manera, el producto indexa a todos los números primos. De ahora en adelante, sin que se diga lo contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos los números primos se representa como p bajo el sumatorio o productorio.

Euler se dio cuenta de que si existía un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica. En lenguaje moderno, se dice que la existencia de infinidad de números primos está reflejada por el hecho de que la función zeta de Riemann tiene un polo simple en s = 1.

Demostración

Euler, tomando el producto indicado arriba, llegó a una conclusión.

Tomó logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad, y utilizando las propiedades de las series geométricas y que la serie de Taylor de log(1-x) es:

entonces:

para una constante C < 1. Puesto que la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos es asintótica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene:

que sustituyendo en la expresión de arriba y despreciando el valor de C cuando n se acerca a infinito, Euler llegó a la conclusión de que:


Q.E.D.


Es también cierto que Euler comprendía que la suma de los recíprocos de todos los números primos menores que n es asintótica a log (log(n)) cuando n se aproxima a infinito, y de hecho este es el caso. Euler había llegado a esta conclusión por métodos cuestionables.

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