Serie de Laurent

Definición

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe poder permanecer dentro de una región abierta (corona), indicada en la figura con color, donde en dicha región f(z) es holomorfa (analítica).

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar dentro de una región donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto ${\displaystyle c\,}$ es una serie de la forma:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ donde ${\displaystyle a_{n},c,z\in \mathbb {C} }$.

Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}dz}$ para ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

La sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la fórmula integral de Cauchy.