Serie armónica (matemática)

Serie armónica se define en matemáticas como la siguiente serie infinita:


Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades

Divergencia de la serie armónica

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos que 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la agrupación de los términos de la serie armónica:

son mayores, que esta otra serie:

que está claro que diverge y por consecuencia la serie armónica también diverge. Esta prueba fue dada por Nicolás Oresme en (1350) y fue un gran paso para las matemáticas medievales en particular.

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternada

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Esta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

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