Semigrupo

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma en la cual A es un conjunto no vacío, es una operación interna definida en A . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:


1.- Cerradura: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

.


2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, con la operación suma, +. Que se representa: . Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:

.

Una operación asociativa:

.

Y conmutativa:

.

Luego es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto + de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

  • la multiplicación
  • la obtención del m.c.d.
  • la obtención del m.c.m.

Estos tres son semigrupos abelianos,[1]

  • Consideremos el conjunto potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tanto con la unión cuanto la intersección de conjuntos es un semigrupo con unidad.[2] Unidad para la unión es el conjunto vacío; y en este ejemplo, la unidad para la intersección será el conjunto A.
  • Sea el conjunto de la matrices reales de orden n, con la suma de matrices. En tal caso es un semigrupo conmutativo. Lo mismo, cuando se considera la multiplicación es un semigrupo, pero no es conmutativo.[3]
  • Sea el conjunto de matrices estocásticas con la habitual multiplicación de matrices; si es así es un semigrupo.[4]
  • Sea S = {4k+1/ k ∈ ℕ} con la multiplicación habitual de números naturales. Luego S es un semigrupo multiplicativo.
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