Retículo (matemáticas)

Diagrama de Hasse del retículo de particiones del conjunto {1,2,3,4}.

En matemáticas, específicamente en álgebra y la teoría del orden, un retículo es una estructura algebraica con dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad fundamental de que toda pareja de elementos tiene un único supremo (o extremo superior) y un único ínfimo (o extremo inferior).

El término «retículo» viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales órdenes.

Un ejemplo de retículo es el conjunto de particiones de un conjunto finito, ordenado por la relación de refinamiento.

Definición como conjunto ordenado

En teoría de conjuntos, un retículo o red (denominado en inglés lattice) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual, para cada par de elementos, existen un supremo y un ínfimo, esto es:

Un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) se denomina retículo si satisface las siguientes propiedades:

Existencia del supremo por pares
Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene un supremo: (también conocido como mínima cota superior, o join en idioma inglés).
Existencia del ínfimo por pares
Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene un ínfimo: (también conocido como máxima cota inferior, o meet en idioma inglés).

El supremo y el ínfimo de a y b se denotan por y , respectivamente, lo que define a y como operaciones binarias. El primer axioma dice que L es un semirretículo superior; el segundo que L es un semirretículo inferior. Ambas operaciones son monótonas con respecto al orden: a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 implica que a1 b1 ≤ a2 b2 y a1b1 ≤ a2b2.

Se sigue por inducción matemática que para todo subconjunto finito no vacío de un retículo existen un supremo y un ínfimo.

Nótese que aún en un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) arbitrario, la existencia de algún supremo (o ínfimo) z para un subconjunto finito no vacío S de L implica que este supremo (o ínfimo) z es único, puesto que de existir dos o más cotas superiores (o inferiores) de S que sean incomparables entre sí, el supremo (o ínfimo) por definición no existe.