Respuesta a impulso

La respuesta a un impulso de un sistema simple de audio. Se muestra primero el impulso original, luego con las altas frecuencias reforzadas, y por último con las bajas frecuencias reforzadas.

La respuesta a un impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que se presenta en la salida cuando en la entrada se introduce un impulso. Un impulso es el caso límite de un pulso infinítamente corto en el tiempo pero que mantiene su área o integral (por lo cual tiene un pico de amplitud infinitamente alto). Aunque es imposible obtener amplitud infinita en un intervalo infinitamente corto en cualquier sistema real, es un concepto útil como idealización, debido principalmente a la simplicidad de su uso en la integración.

Bases matemáticas

Matemáticamente, un impulso se representa por una función Delta de Dirac. Cuando se trabaja con sistemas discretos el impulso se aproxima por medio de un pulso que tiene area unidad y de ancho tiene el periodo de tiempo entre dos muestras. Si el tiempo entre dos muestras consecutivas x[n] y x[n+1] lo tomamos como, , entonces el valor del impulso será el inverso de , de modo que el área, que es su producto, valga la unidad. En la explicación posterior de los Sistemas Discretos se toma, , de modo que su inverso también lo será, pero hay que tener en cuenta para el procesamiento de señales en las que la base de tiempo sea diferente ajustar este parámetro para no cambiar la energía de la señal de salida erróneamente.

Sistemas Continuos

Sistemas Discretos

Supongamos que T es un sistema discreto, es decir, que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]:

Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a través de los números enteros), produciendo nuevas sucesiones. Tener en cuenta que T no es el sistema, sino una representación matemática del sistema. T puede ser no lineal, por ejemplo:

o lineal, como:

.

Supongamos que T es lineal. Entonces

y

Supongamos también que T es invariante en el entorno, es decir que si entonces . En tal sistema cualquier salida puede calcularse en términos de la entrada y de la sucesión, respuesta a impulso, quedando caracterizado el sistema por completo. Esto puede verse de la siguiente manera: Tomando la identidad

y aplicando T en ambos lados

Por supuesto, esto tiene sentido sólo si

cae en el dominio de T. Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir

Y como la salida y[k] está dada por

podemos escribir

Reemplazando la salida del sistema a la , obtendremos, por definición, la respuesta impulsiva

Como se observa, es la salida del sistema cuando su entrada es un impulso discreto, una delta de Dirac discreta.

sustituyendo, obtenemos finalmente

La sucesión es la respuesta a impulso del sistema representado por T.


Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo continuo.

Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto, ubicado en un punto p. El globo explota y hace un sonido similar a un "pum". Aquí el recinto es un sistema T que toma el sonido "pum" y lo dispersa a través de múltiples reflexiones. La entrada es el "pum", similar (debido en parte a su corta duración) a un delta de Dirac, y la salida es la sucesión del sonido afectado por el sistema, y depende de la ubicación (punto p) del globo. Si conocemos para cada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del salón, y es posible predecir la respuesta del mismo a cualquier sonido producido en él.

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