Residuo cuadrático

En Matemáticas, dentro de la Teoría de Números se denomina residuo cuadrático módulo (donde p es un número primo) a cualquier entero que no es múltiplo de para el que tenga solución la congruencia:

o lo que es lo mismo cuando es un cuadrado no nulo módulo ,[1] y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo . A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo se les denomina no-residuos cuadráticos. En adelante nos referimos a menudo a ellos como residuos y no-residuos.

En ocasiones se admite la definición de residuos cuadráticos módulo enteros no primos. Sin embargo, es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo , ya que entonces tenemos un comportamiento mucho más sencillo. Muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso usando el teorema chino del resto y otros resultados de la resolución de congruencias.

Ejemplo

Si tomamos el primo p=13, se tiene que 12 = 122 = 1 (mod 13), 22 = 112 = 4 (mod 13), 32 = 102 = 9 (mod 13), 42 = 92 = 3 (mod 13), 52 = 82 = 12 (mod 13), 62 = 72 = 10 (mod 13).

Por lo tanto, los residuos cuadráticos módulo 13 son: 1, 3, 4, 9, 10 y 12; los no residuos: 2, 5, 6, 7, 8, y 11.

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