Residuo cuadrático

En Matemáticas, dentro de la teoría de números se denomina residuo cuadrático módulo a cualquier entero coprimo con para el que tenga solución la congruencia:

o lo que es lo mismo cuando es un cuadrado no nulo módulo , y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo .[2]​ A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo se les denomina no-residuos cuadráticos. En adelante nos referimos a menudo a ellos como residuos y no-residuos.

En el estudio de los residuos cuadráticos es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo , ya que entonces tenemos un comportamiento mucho más sencillo, y muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso usando el teorema chino del resto, y otros resultados de la resolución de congruencias. Para estudiar este caso es muy conveniente el uso del símbolo de Legendre, y de su extensión el símbolo de Jacobi.

Ejemplo

Si tomamos el primo p=13, se tiene que 12 = 122 = 1 (mod 13), 22 = 112 = 4 (mod 13), 32 = 102 = 9 (mod 13), 42 = 92 = 3 (mod 13), 52 = 82 = 12 (mod 13), 62 = 72 = 10 (mod 13).

Por lo tanto, los residuos cuadráticos módulo 13 son: 1, 3, 4, 9, 10 y 12; los no residuos: 2, 5, 6, 7, 8, y 11.