Representación de números con signo

En las matematicas, los números negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precediéndolos con un signo «−». Sin embargo, en una computadora, hay varias formas de representar el signo de un número. Este artículo trata cuatro métodos de extender el sistema binario para representar varios y diferentes números con signo: signo y magnitud, complemento a uno, complemento a dos y exceso K, donde normalmente K equivale a bnÍ-1.

Para la mayoría de usos, las computadoras modernas utilizan típicamente la representación en complemento a dos, aunque pueden usarse otras en algunas circunstancias.

En las secciones a continuación, nos referiremos exclusivamente al caso de números signados en binario (y contrastaremos con el decimal con fines didácticos), esto no significa que lo mostrado aquí se pueda llevar en forma análoga a otras bases ( hexadecimal, u octal, por ejemplo).

Signo y magnitud

Para n = 8 (8 bits) en Signo y Magnitud
Número Binario de 8 bits Interpretado como número entero en Sistema Decimal Interpretado como número natural en Sistema Decimal
00000000 0 0
00000001 1 1
00000010 2 2
... ... ...
01111110 126 126
01111111 127 127
10000000 −0 128
10000001 −1 129
10000010 −2 130
... ... ...
11111101 −125 253
11111110 −126 254
11111111 −127 255

Un primer enfoque al problema de representar un número signado de n- bits consiste en asignar:

  1. un bit para representar el signo. Ese bit a menudo es el bit más significativo o MSB (de sus siglas en inglés) y, por convención: un 0 denota un número positivo, y un 1 denota un número negativo ó Cero;
  2. los (n-1)-bits restantes para representar el significando que es la magnitud del número en valor absoluto.

Y se conoce como Signo y Magnitud.

Este enfoque es directamente comparable a la forma habitual de mostrar el signo (colocando "+" o "-" al lado de la magnitud del número). Algunas de las primeras computadoras binarias (la IBM 7090) utilizaron esta representación, quizás por su relación obvia con la práctica habitual.

El formato Signo y Magnitud es además el habitual para la representación del significando en números en punto flotante.

Ejemplo de Signo y Magnitud

Sea una representación en formato de Signo y Magnitud que nos permite codificar un número entero en binario con 8 bits (un byte). Esto nos otorga 1 bit para el signo y 7 bits para la magnitud. Con 8 bits, podemos representar, en teoría al menos (véase Desventajas, más abajo), 28 = 256 números. Los cuales, según éste formato, van a estar repartidos entre 128 números positivos (bit de signo en 0) y 128 números negativos (bit de signo en 1).

Supongamos ahora, que tenemos que representar el número -9710 (decimal). Procedemos a:

  1. Tomar nota del signo del número reducido o simplificado -9710, que siendo negativo, llevará como bit de signo un 1;
  2. Realizar la conversión: el valor absoluto de -9710 es |-9710| = 9710. Que en binario es: 11000012;
  3. Colocar todo junto, el número -9710 en binario con formato de Signo y Magnitud es: 111000012. Donde el 1 en el bit más significativo indica un número negativo, y 11000012 es el significando en valor absoluto.

Para el caso inverso, dado un número binario en Signo y Magnitud, por ejemplo, 101101012, procedemos a:

  1. Analizar el bit más significativo, que siendo un 1 indica que el número es negativo;
  2. Convertir el significando a la base deseada, por ejemplo, en decimal, tomando en cuenta que el valor obtenido está en valor absoluto y la magnitud real estará dada por el bit de signo obtenido antes: 01101012 = |5310|. Siendo que el bit de signo es 1, el número real es -5310. Si el bit de signo fuese 0, el número hubiese sido +5310.

Desventajas de la representación en Signo y Magnitud

Siguiendo con el ejemplo de n = 8 (8 bits).

  • Es más complejo operar aritméticamente. Para realizar una suma, por ejemplo, primero hay que determinar si los dos números tienen el mismo signo, y en caso de que sea así, realizar la suma de la parte significativa, pero en caso contrario, restar el mayor del menor y asignar el signo del mayor.
  • Posee doble representación del cero. Al representar en Signo y Magnitud, aparece el cero asignado: 000000002 (+010) y 100000002 (-010).

Ventajas de la representación en signo y magnitud

Siguiendo con el ejemplo de n = 8 (8 bits).

  • Posee un rango simétrico: los números van del +12710 = 011111112, pasando por el +010 = 000000002 y el -010 = 100000002, hasta el -12710 = 111111112. Y en forma general, para n-bits, el rango (en decimal) para Signo y Magnitud es (-2n-1+1; 2n-1-1), o bien ± (2n-1-1).
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