Representación de grupo

En el estudio de los grupos en álgebra, una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matemático. Más formalmente, la "descripción" significa que hay un homomorfismo del grupo a un cierto grupo de automorfismos. Una representación fiel es una en la cual este homomorfismo es inyectivo.

Primeros ejemplos

A veces se utiliza realización para esta noción, reservando el término representación para lo qué más abajo se llamará representaciones lineales. La teoría de la representación se divide en subteorías dependiendo de la clase de grupo que es representado. Las divisiones más importantes son:

Grupos finitos: las representaciones de grupo son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También aparecen en ciertas aplicaciones de la teoría de grupos finitos cristalografía y en geometría. El caso especial donde la representación es sobre un cuerpo de característica p y p divide el orden del grupo, llamada teoría de la representación modular, tiene propiedades muy diversas (véase abajo).

Grupos topológicos compactos o localmente compactos: muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos son probados haciendo un promedio sobre el grupo. Estas pruebas se pueden transportar a los grupos infinitos si el promedio es substituido por una integral, lo que solamente funciona si podemos definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para los grupos localmente compactos, usando la medida de Haar. La teoría que resulta es una parte central del análisis armónico. La dualidad de Pontryagin describe la teoría para los grupos conmutativos, como transformación de Fourier generalizada.

Grupos de Lie: Muchos grupos de Lie importantes son compactos, así que los resultados de la teoría compacta de representación se aplican a ellos. Otras técnicas específicas de los grupos de Lie se utilizan también. La mayoría de los grupos importantes en la física y la química son grupos de Lie, y la teoría de representación es crucial para el uso de la teoría de grupos en esos campos. Vea Representaciones de grupos de Lie o de álgebras de Lie.

Grupos topológicos no compactos: La clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir cualquier teoría general de representación, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces usando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tiene una teoría profunda, basada en el caso compacto. Los grupos de Lie solubles no pueden ser clasificados de la misma manera. La teoría general para los grupos de Lie se ocupa de los productos semidirectos de los dos tipos, por medio de los resultados generales llamados teoría de Mackey, que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner.

Dentro de una clase dada de teoría de representación, los resultados se diferencian dependiendo de la clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible 'blanco' para el homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones. Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre algunos cuerpos, o, más generalmente, grupos de transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial.

El caso más importante es el cuerpo de los Números complejos (es decir, las representaciones son homomorfismos a un grupo de matrices complejas o de transformaciones lineales inversibles de un espacio vectorial complejo). Si el espacio vectorial es finito dimensional, entonces las representaciones son también finito dimensionales. (las representaciones infinito dimensionales son también posibles; el espacio vectorial puede entonces ser un espacio de Hilbert infinito dimensional, por ejemplo.)

Los otros casos importantes son el cuerpo de los números reales, los cuerpos finitos, y los cuerpos de los números p-ádicos. Las representaciones en el caso finito del cuerpo se llaman modulares. Aquí la característica del cuerpo es absolutamente significativa; muchos teoremas dependen de que el orden del grupo no divida la característica del cuerpo.

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