Renormalización

Figura 1. Renormalización en electrodinámica cuántica: la simple interacción entre fotón-electrón que determina la carga del electrón, en un determinado punto renormalizado se releva con más complicadas interacciones que en otro.

En Teoría cuántica de campos y otras áreas, la renormalización se refiere a un conjunto de técnicas usadas para obtener términos finitos en un desarrollo perturbativo. La renormalización es importante porque en teoría cuántica de campos no se conoce la manera de calcular ciertas magnitudes de otra manera que no sea una serie formal de potencias. El problema es que algunos de los términos de la serie pueden resultar divergentes en el límite de altas energías, aun cuando físicamente los valores observados son finitos. Esto parece un problema asociado al uso de series perturbativas, y supuestamente algunos métodos no perturbativos no conocidos resolverían el problema. Por tanto, la renormalización es necesaria ya que hoy por hoy no se conoce como hacer los cálculos sin series perturbativas.

Introducción

Estos procedimientos tienen que ver con los problemas que surgen de pasar a un límite continuo y tienen que ver con la autointeracción de un campo consigo mismo. Más concretamente, cuando se describe un sistema físico de manera aproximada mediante una red discreta de puntos ciertas cantidades están bien definidas, sin embargo, al pasar al límite continuo de forma "cruda" considerando una infinidad de puntos, las cantidades están mal definidas matemáticamente. Es decir, sobre un espacio-tiempo definido como una retícula de puntos numerable, la teoría da resultados fintios pero al hacer disminuir la distancia mínima entre puntos hacia cero, algunos términos se disparan a infinito. La renormalización consiste en un conjunto de procedimientos de calcular el límite continuo de manera alternativa de manera que todas las cantidades estén bien definidas y no den lugar a términos infinitos.

Cuánticamente no resulta posible medir el valor del campo con infinita precisión en un punto del espacio, sino sólo en una región muy pequeña pero no de volumen nulo. De hecho la magnitud observable ligada a un campo físico es una distribución definda sobre funciones de soporte compacto cuyos valores son operadores de campo. En el caso de teorías de campo libre (sin autointeracciones) este hecho no causa problemas serios y se puede construir un formalismo no perturbativo. Sin embargo, para un campo con interacción nadie sabe como formular una teoría exacta del campo, por lo que el procedimiento común es considerar un desarrollo perturbativo respecto a la teoría del campo libre (sin interacción).[1] Y en ese caso, resulta inevitable considerar productos de operadores de campo en el mismo punto del espacio, lo cual es una operación que matemáticamente no está bien definida en todos los casos.

Teorías de gauge

Una propiedad importante de las teorías de campo recalibrado es que tienen la propiedad de ser renormalizables, es decir, existe una técnica bien definida que da lugar a términos finitos (además experimentalmente varias de estas teorías renormalizables se han comprobado no sólo correctas sino numéricamente muy precisas). El hecho de que se tenga un procedimiento claro de renormalización para teorías de recalibración, ha hecho que este tipo de teorías de campo hayan sido extensivamente estudiados, ya que mediante renormalización permiten obtener respuestas finitas contrastables con los experimentos.

La renormalización determina la relación entre los parámetros de la teoría, cuando los parámetros que describen el comportamiento para grandes distancias difieren del los parámetros que describen el comportamiento a pequeñas distancias. La renormalización fue desarrollada inicialmente para la electrodinámica cuántica (QED) con el objetivo de dar sentido a los valores infinitos de ciertas integrales obtenidas mediante teoría de perturbaciones a partir del caso del campo libre. Si bien inicialmente, se vio como un procedimiento sospechoso, y físicos como Paul Dirac la criticaron, por lo que fue visto como un procedimiento no riguroso y provisional, con el tiempo la propiedad de ser renormalizable por dicho procedimiento acabó siendo considerado como un importante indicio de la autoconsistencia y adecuación de una teoría de campos, tanto desde el punto de vista físico como matemático.


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