Relaciones de Cardano-Vieta

Dado el polinomio perteneciente a C[z] y dadas sus raíces (pertenecientes a C), se cumplirán las siguientes ecuaciones (k ecuaciones en total):

. . .

. . .

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

  • demostración

Demostración

Usando el teorema de descomposición de polinomios podemos expresar anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=an(x−r1)(x−r2)…(x−rn). anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=an(x−r1)(x−r2)…(x−rn). Igualando los coeficientes de xn−p,xn−p, an−p=an∑i1<i2<…<ip(−1)pri1ri2…rip=(−1)panσp, an−p=an∑i1<i2<…<ip(−1)pri1ri2…rip=(−1)panσp, de donde resultan las fórmulas de Cardano-Vieta.

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