Relación de equivalencia

Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total Acotado Orden total acotadoClasiBinaEs 004.svg
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En teoría de conjuntos y álgebra la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.

Definición

Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida sobre . Se dice que es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

  • Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir,
.
  • Simetría: Si un elemento de está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,
.
  • Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
.

Notación:

En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos x e y se denota x ≡ y (mod R) que se lee « x es equivalente a y módulo R ».
Una relación de equivalencia sobre un cuerpo puede denotarse con el par .

Clase de equivalencia o Relación de equivalencia

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia define subconjuntos disjuntos en llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento , el conjunto dado por todos los elementos relacionados con definen la clase:

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento .

Al elemento se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente

Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se le suele denotar como:

o

Partición

Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.
Demostración
Dada una relación de equivalencia en K:
Para ver que la intersección es vacía, supongamos que no lo es, es decir, dados [a] y [b] dos clases distintas y entonces se tiene:
Por simetría
Por transitividad y
Por tanto [a]=[b] que es una contradicción, por tanto, dos clases distintas no tienen elementos en común, así como todo elemento de K pertenece a una clase, queda bien definida una partición.

Dada una partición de K, , podemos definir la siguiente clase de equivalencia:

Dados dos elementos a y b de K están relacionados si pertenecen al mismo conjunto

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.

  • para cualquiera dos no relacionados tenemos: ;
  • la unión de todos integra al total:
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