Regla y compás

Construcción de un hexágono regular con regla y compás
Construcción de un pentágono regular

La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque «olvida» la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de «solo compás».[ cita requerida]

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución «con regla y compás» son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa «imposibilidad lógica» insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.[1] Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás «euclídeos». Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.

La regla y el compás de la geometría clásica

Compás idealizado. William Blake.

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

  • El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.
  • La regla es «infinitamente larga» (es decir, puede prolongar una recta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-paralelepípedos o «franjas» algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.

Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple « juego», más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás.

Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

Ilustración de un diccionario de arquitectura francesa, el Dictionnaire Raisonné de l'architecture Française du XIe au XVIe siècle (1856).
  • Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.
  • Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.
  • Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

Other Languages
हिन्दी: निर्मेय
中文: 尺规作图
文言: 尺規作圖
粵語: 尺規作圖