Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum, expresión latina que significa literalmente 'reducción al absurdo', es uno de los métodos lógicos de demostración más usados en matemáticas, usado para demostrar la validez (o invalidez) de proposiciones categóricas.

Se parte por suponer como hipotética la negación o falsedad de la tesis de la proposición a demostrar, y mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas se pretende llegar a una contradicción lógica, un absurdo, de llegar a una contradicción, se concluye que la hipótesis de partida (que se había supuesto falsa al principio) ha de ser falsa, y entonces la hipótesis original es verdadera y la proposición o argumento es válido.

Para demostrar la invalidez de una proposición, se supone como punto de partida que la proposición es cierta. Si la derivación final es una contradicción, se concluye que la proposición original es falsa y el argumento es inválido.

A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento del principio de exclusión de intermedios: una proposición que no puede ser falsa es necesariamente verdadera, y una proposición que no puede ser verdadera es necesariamente falsa.

Su uso en matemáticas

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento muy empleado en demostraciones matemáticas.

Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera, probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción, por lo cuál sería verdadera.

Para obtener una prueba válida debe demostrarse que, dada una proposición , «no » implica una propiedad falsa en el sistema matemático utilizado. El peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, mediante la cual se prueba que «no » implica una propiedad que parece falsa pero que realmente no se ha demostrado tal falsedad.

Un ejemplo clásico de esta falacia es la falsa demostración de un quinto postulado de Euclides a partir de los anteriores. Debido a que cuando se establecieron esas pruebas no existía otra Geometría que la euclidiana, parecían correctas. Tras la aparición de otras geometrías se demostró que el sistema era incorrecto. Para una explicación más profunda de estas falacias puede verse Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times,[1]​ de Morris Kline.

Aunque en demostraciones matemáticas este método se utiliza con gran libertad, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válida. En escuelas como la del intuicionismo, la ley de exclusión de intermedios no se acepta como válida. Desde este punto de vista hay una diferencia muy significativa entre demostrar que mediante un ejemplo real de un «algo» que existe sería absurdo demostrar su no existencia.

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