Red (matemática)

En matemáticas, una red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos. Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.

Definición

Conjunto dirigido

Un conjunto dirigido es un par en el que es un conjunto y es una relación en que verifica las siguientes propiedades:

  1. (propiedad reflexiva).
  2. tales que e , se cumple entonces que (propiedad transitiva).
  3. tal que e .

Usualmente, la relación se lee como "menor igual" (en forma intuitiva).

En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es , el conjunto de las vecindades de un punto en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión, donde un conjunto se dirá "mayor" que otro si está incluido en él.

Red

Una red en un conjunto no es más que una aplicación entre un conjunto dirigido y un conjunto . Se suele representar por , donde .

Subred

Tal como en el contexto de sucesiones hay una noción de subsucesiones, en el concepto de redes también hay un concepto similar. Así, decimos que es una subred de (donde son conjuntos dirigidos) si y solo si existe una función que verifica las siguientes dos propiedades:

  1. tal que

La primera condición refleja la idea intuitiva de que la sub-red se "vaya a infinito" junto con la red, mientras que la segunda es simplemente pedir que los puntos que tome sean efectivamente puntos de la red.

Es fácil ver que toda subred de una red es también una red.

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