Recta de Euler

La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro.

La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo;[1] además incluye al punto de Exeter y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo no equilátero. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.

La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»

H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.[2]

Euler demostró que en cualquier triángulo el ortocentro, el circuncentro y el baricentro están alineados. Esta propiedad amplía su dominio de verdad para el centro de la cirncunferencia de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro de la circunferencia de los nueve puntos notables se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide del circuncentro es un medio que desde el baricentro hasta el ortocentro.

Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps, el punto Schiffler, el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler solo para triángulos isósceles.

Ecuación de la recta

Sean A, B, C denotan los ángulos del vértice del triángulo de referencia, y sea x: y: z un punto variable en coordenadas trilineales, a continuación, la ecuación de la recta de Euler es:

Otra manera para representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t. Comenzando con el circuncentro y el ortocentro:

Cada punto en la línea de Euler, excepto el ortocentro, se describe como

para algunos t.

  • Centro de la circunferencia de los nueve puntos
  • Punto de Longschamps
  • Punto de Euler infinito
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