Radical de un ideal

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea un Anillo conmutativo y sea un ideal del anillo. El conjunto se denomina radical del ideal (o sencillamente radical de ).

Si es que existe un entero tal que . Así, si es .

Si además existirá otro entero de manera que .

Por el Teorema del binomio:

  • Si entonces es , luego el exponente de es mayor o igual que , y así .
  • Si entonces es ya que .

En cualquier caso, cada sumando de está en , que es un ideal de , luego y será .

Así es un ideal de .

Un ideal de un anillo conmutativo y unitario se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si . Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si es un ideal primo, entonces es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos la proyección canónica de sobre , entonces (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que es un ideal de ; aquí, es el nilradical de , definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si , entonces para algún , es cero en , y por tanto está en . Recíprocamente, si está en para algún será , entonces es cero en , y por tanto está en .

Mediante el uso de la localización, podemos ver que es la intersección de todos los ideales primos de que contienen a : cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a contienen a . Si es un elemento de que no está en , entonces sea el conjunto . es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización .

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