Raíz de la unidad

En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre[ cita requerida], son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre el punto 1 de dicho plano, siempre que n>2.

Definición

Se llama raíz enésima de la unidad a cualquiera de los números complejos que satisfacen la ecuación:[1]

donde . Para cada n, las n diferentes raíces n-ésimas de la unidad son:

donde

Entre las raíces enésimas de la unidad siempre está el número 1, el número -1 solo está cuando n es par y los números i y -i cuando n es múltiplo de cuatro. Las raíces enésimas de la unidad no reales se presentan en pares de conjugados.

Raíces primitivas

Las raíces n-ésimas de la unidad forma con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial {0}. Un generador de este grupo cíclico es una raíz primitiva n-ésima de la unidad. Las raíces primitivas n-ésimas de la unidad son , donde k y n son coprimos. El número de raíces primitivas diferentes lo da la función φ de Euler, .

O de otra manera, la raíz n-ésima de la unidad α es primitiva, si y solo si sus k-ésimas potencias, k=0, 1,...,n-1 son distintas.

Las raíces cuartas de 1 son: 1, -1, i, -i. En el caso de 1 sus potencias de grado 0, 1, 2 y 3 son iguales; no es raíz primitiva. Para i, se calcula que las potencias de grado 0, 1, 2, 3 son respectivamente 1, i, -1, -i, distintas, luego i es una raíz cuarta primitiva de 1.

Raíces segundas de la unidad

Las raíces segundas o cuadradas de la unidad, , son +1 y -1, siendo -1 la única primitiva.

Raíces terceras de la unidad

Las raíces terceras o cúbicas de la unidad son

donde es la unidad imaginaria, siendo las dos últimas primitivas.

Raíces cuartas de la unidad

Las raíces cuartas de la unidad son

de las cuales y son primitivas.

Raíces quintas de la unidad

Las 5 soluciones de la raíz quinta de la unidad en el plano complejo en azul

Las raíces quintas de la unidad

Siendo las cuatro últimas las primitivas de argumentos 72º, 144º, 216º y 288º.

Raíces octavas de la unidad

Una de las raíces octavas primitivas de la unidad es

Las únicas raíces sextas primitivas de la unidad son las de 60º y 300º.

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