Raíz de la unidad

En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre[ cita requerida], son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular de n lados con un vértice sobre el punto 1 de dicho plano, siempre que n>2.

Definición

Se llama raíz enésima de la unidad a cualquiera de los números complejos que satisfacen la ecuación:[1]

donde . Para cada n, las n diferentes raíces n-ésimas de la unidad son:

donde

Entre las raíces enésimas de la unidad siempre está el número 1, el número -1 solo está cuando n es par y los números i y -i cuando n es múltiplo de cuatro. Las raíces enésimas de la unidad no reales se presentan en pares de conjugados.

Raíces primitivas

Las raíces n-ésimas de la unidad forma con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial {0}. Un generador de este grupo cíclico es una raíz primitiva n-ésima de la unidad. Las raíces primitivas n-ésimas de la unidad son , donde k y n son coprimos. El número de raíces primitivas diferentes lo da la función φ de Euler, .

O de otra manera, la raíz n-ésima de la unidad α es primitiva, si y solo si sus k-ésimas potencias, k=0, 1,...,n-1 son distintas.

Las raíces cuartas de 1 son: 1, -1, i, -i. En el caso de 1 sus potencias de grado 0, 1, 2 y 3 son iguales; no es raíz primitiva. Para i, se calcula que las potencias de grado 0, 1, 2, 3 son respectivamente 1, i, -1, -i, distintas, luego i es una raíz cuarta primitiva de 1.

Raíces segundas de la unidad

Las raíces segundas o cuadradas de la unidad, , son +1 y -1, siendo -1 la única primitiva.

Raíces terceras de la unidad

Las raíces terceras o cúbicas de la unidad son

donde es la unidad imaginaria, siendo las dos últimas primitivas.

Raíces cuartas de la unidad

Las raíces cuartas de la unidad son

de las cuales y son primitivas.

Raíces quintas de la unidad

Las 5 soluciones de la raíz quinta de la unidad en el plano complejo en azul

Las raíces quintas de la unidad

w 2 = 5 + 1 4 + i 5 5 8 , {\displaystyle w^{2}=-{\frac ,} w 3 = 5 + 1 4 i 5 5 8 , {\displaystyle w^{3}=-{\frac ,} w 4 = 5 1 4 i 5 + 5 8 } {\displaystyle w^{4}={\frac

Siendo las cuatro últimas las primitivas de argumentos 72º, 144º, 216º y 288º.

Raíces octavas de la unidad

Una de las raíces octavas primitivas de la unidad es

Las únicas raíces sextas primitivas de la unidad son las de 60º y 300º.

Other Languages