Raíz cuadrada

Expresión matemática de "raíz cuadrada de x".

En matemática, la raíz cuadrada de un número x, es el número y que al ser multiplicado por sí mismo — elevarlo al cuadrado — resulta en x nuevamente, por tanto y2=x.[1] . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente 12.

Cualquier número real no negativo x tiene una única raíz cuadrada no negativa, llamada raíz cuadrada principal y denotada como donde es el símbolo raíz y x es el radicando.

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas, , que es positiva, y , que es negativa. Suelen denotarse de manera conjunta como . Puesto que una de las dos se tiene que tomar como principal, la designación raíz cuadrada se refiere a la raíz cuadrada principal.

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.[2]

Historia

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.[3]

En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.[4] Aryabhata (476-550) en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión dada por:

[5]

Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge (como valor inical puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional ( inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, y son en la actualidad una de las herramientas matemáticas más elementales.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Ariabhata para determinar la raíz cuadrada".[6]

Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 la raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.

El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación,[8] que aparece en su libro Coss, el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números reales negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolizara la raíz cuadrada de –1 con la letra i. La generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces ( teorema fundamental del álgebra)[9] . La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Other Languages
Afrikaans: Vierkantswortel
العربية: جذر تربيعي
azərbaycanca: Kvadrat kökləri
беларуская: Квадратны корань
беларуская (тарашкевіца)‎: Квадратны корань
বাংলা: বর্গমূল
brezhoneg: Gwrizienn garrez
کوردیی ناوەندی: ڕەگی دووجا
čeština: Druhá odmocnina
dansk: Kvadratrod
Deutsch: Quadratwurzel
English: Square root
Esperanto: Kvadrata radiko
eesti: Ruutjuur
euskara: Erro karratu
فارسی: ریشه دوم
føroyskt: Kvadratrót
français: Racine carrée
贛語: 平方根
ગુજરાતી: વર્ગમૂળ
हिन्दी: वर्गमूल
Bahasa Indonesia: Akar kuadrat
íslenska: Ferningsrót
italiano: Radice quadrata
日本語: 平方根
Patois: Skwier ruut
한국어: 제곱근
latviešu: Kvadrātsakne
മലയാളം: വർഗ്ഗമൂലം
मराठी: वर्गमूळ
Bahasa Melayu: Punca kuasa dua
नेपाली: वर्गमूल
नेपाल भाषा: वर्गमूल
Nederlands: Vierkantswortel
norsk nynorsk: Kvadratrot
norsk bokmål: Kvadratrot
ਪੰਜਾਬੀ: ਵਰਗ ਮੂਲ
português: Raiz quadrada
sicilianu: Radici quatrata
srpskohrvatski / српскохрватски: Kvadratni koren
Simple English: Square root
slovenčina: Odmocnina
slovenščina: Kvadratni koren
српски / srpski: Квадратни корен
Basa Sunda: Akar kuadrat
svenska: Kvadratrot
తెలుగు: వర్గమూలం
Türkçe: Karekök
українська: Квадратний корінь
Tiếng Việt: Căn bậc hai
中文: 平方根
粵語: 開方根