Quinto postulado de Euclides

En geometría, el postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides es el postulado número cinco del libro Los Elementos (300 a. C.), del matemático griego Euclides. La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluyendo el V postulado, siendo por su importancia, su proposición distintiva. Una geometría en la que el V postulado no se satisface, recibe el nombre de geometría no euclidiana. La geometría que es independiente del V postulado (i.e. asume los primeros cuatro) es conocida como geometría absoluta.

Enunciado

V postulado de Euclides

Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [[ángulos]] menores que dos rectos.


Euclides

Formulaciones equivalentes al V postulado

Quinto postulado de Euclides: Las rectas, al prolongarse, se intersecan.
  1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
    Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
  2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
  3. Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego Proclo. Se la conoce también como «postulado de las paralelas» (o axioma de Playfair[1] ).
  4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita.
  5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta ( Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
  6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta ( Clavio, 1574).
  7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado ( Wallis, 1663).
  8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes ( Saccheri, 1733).
  9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
  10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada ( Gauss, 1799).
  11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).
  12. No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).

¿Axioma o teorema?

Euclides presenta el anunciado como un axioma: su quinto postulado.

  1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
  3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
  5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que la suma de los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Al leerlo tal y como lo escribió Euclides y dentro de su contexto, se observa que el V postulado es mucho más complicado en su formulación que los otros cuatro. Euclides mismo no se sirve de él en sus primeras 28 proposiciones, como si intuyera o esquivara la problemática de fondo. El problema es pues si realmente el V postulado es independiente de los otros cuatro, o bien puede deducirse de ellos (junto con las nociones comunes y las definiciones).

[...] la afirmación de que como convergen más y más a medida que se prolongan, llegarán alguna vez a encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es necesaria a falta de un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las líneas rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan indefinidamente pero permanecen sin tocarse, por más improbable y paradójico que parezca, también es cierto y está completamente comprobado en relación con líneas de otro tipo. ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo que ocurre con las líneas mentadas?

Proclo, Comentarios a los Elementos.

Durante más de dos milenios, numerosos geómetras pensaron que esta propiedad debería poder deducirse lógicamente de las otras cuatro, y se dieron a la tarea de tratar de demostrar el axioma de Euclides.

Comenzaron esta tarea geómetras árabes (mientras, esa época en Europa eran tiempos obscuros)[2] Posteriormente otro geómetra árabe, Nasir al-Din al-Tusi hizo otro intento sin conseguirlo.

Siglos más tarde un italiano, Girolamo Saccheri, continuó con el intento (por los años posteriores a 1700). Esta vez hizo un intento diferente, cambiando intencionalmente el quito postulado por uno que lo contradecía, trató de demostrar que se llega a un absurdo.[3]

Inicialmente tuvo mucho éxito llegando a un absurdo al partir que los otros dos ángulos del 'cuadrilátero de Saccheri' eran obtusos. Pero al continuar con el intento al suponer que esos otros dos ángulos eran agudos, se equivocó y erróneamente llegó a otro absurdo. (La causa del error fue probablemente influencia de sus creencias religiosas)[3]

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