Puntos de Lagrange

Curvas de potencial en un sistema de dos cuerpos (aquí el Sol y la Tierra), mostrando los cinco puntos de Lagrange. Las flechas indican pendientes alrededor de los puntos L – acercándose o alejándose de ellos. Contra la intuición, los puntos L4 y L5 son máximos.

Los puntos de Lagrange, también denominados puntos L o puntos de libración, son las cinco posiciones en un sistema orbital donde un objeto pequeño, solo afectado por la gravedad, puede estar teóricamente estacionario respecto a dos objetos más grandes, como es el caso de un satélite artificial con respecto a la Tierra y la Luna. Los puntos de Lagrange marcan las posiciones donde la atracción gravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas que permiten a un objeto estar en una posición «fija» en el espacio en lugar de en una órbita en que su posición relativa cambia continuamente.

Una definición más precisa pero técnica es que los puntos de Lagrange son las soluciones estacionarias del problema de los tres cuerpos restringido a órbitas circulares. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes. Visto desde un sistema de referencia giratorio que rota con el mismo período que los dos cuerpos co-orbitales, el campo gravitatorio de dos cuerpos grandes combinado con la fuerza centrífuga se compensa en los puntos de Lagrange, permitiendo al tercer cuerpo estar estacionario con respecto a los dos primeros.

Historia y conceptos

En 1772, el matemático ítalofrancés Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre problema de los tres cuerpos cuando descubrió una interesante peculiaridad. Originalmente, trataba de descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitatoria de un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La mecánica newtoniana determina que un sistema así gira caóticamente hasta que, o bien se produce una colisión, o alguno de los cuerpos es expulsado del sistema y se logra el equilibrio mecánico. Es muy fácil de resolver el caso de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo, o más, los cálculos matemáticos son muy complicados, al ser una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.

Sin embargo, Lagrange quería hacer esto más sencillo, y lo logró mediante una simple hipótesis: La trayectoria de un objeto se determina encontrando un camino que minimice la acción con el tiempo. Esto se calcula substrayendo la energía potencial de la energía cinética. Desarrollando esta hipótesis, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange lo llevó a plantear la hipótesis de un tercer cuerpo de masa despreciable en órbita alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estuvieran girando a su vez en órbita cuasi circular. En un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores, encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor.

En el caso más general de órbitas elípticas no hay ya puntos estacionarios sino que más bien se trata de un «área» de Lagrange. Los puntos de Lagrange sucesivos, considerando órbitas circulares en cada instante, forman órbitas elípticas estacionarias, geométricamente semejantes a la órbita de los cuerpos mayores. Esto se debe a la segunda ley de Newton (), dónde p = mv (p es la cantidad de movimiento, m la masa y v la velocidad). p es un invariante si la fuerza y posición se multiplican por un mismo factor. Un cuerpo en un punto de Lagrange orbita con el mismo período que los dos cuerpos grandes en el caso circular, implicando, como sucede, que tienen la misma proporción entre fuerza gravitatoria y distancia radial. Este hecho es independiente de la circularidad de las órbitas e implica que las órbitas elípticas descritas por los puntos de Lagrange son soluciones de la ecuación de movimiento del tercer cuerpo.

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