Punto fijo

Una función con tres puntos fijos

En matemáticas, un punto fijo de una función es un punto cuya imagen producida por la función es el mismo. Es decir, x es un punto fijo de la función f si y sólo si . Por ejemplo:

1) Si f está definida sobre los números reales como

entonces 0 y 1 son los puntos fijos de f, porque f(0) = 0 y f(1) = 1.

2) Si f está definida sobre los números reales como

entonces 2 es un punto fijo de f, porque f(2) = 2, y, además, es el único.

No todas las funciones tienen puntos fijos. Por ejemplo, si f es una función definida sobre los números reales como , entonces f no tiene ningún punto fijo, ya que x no es nunca igual a x + 1 para ningún número real. En términos gráficos, y en el dominio de los reales, que x sea un punto fijo significa que el punto pertenece a la recta , o en otras palabras la gráfica de f tiene un punto en común con esa recta. El ejemplo es un caso donde la gráfica de f y la recta y=x son rectas paralelas. Puede verse fácilmente que para la función todos los puntos del dominio son puntos fijos.

Los puntos que vuelven al mismo valor después de un número finito de iteraciones de la función se conocen como puntos periódicos; un punto fijo es un punto periódico con periodo igual a 1.

Puntos fijos atractivos

La iteración de punto fijo xn+1 = cos xn con el valor inicial x 1 = -1.

Un punto fijo atractivo de una función f es un punto fijo de f tal que para cualquier valor de x en el dominio que es bastante cercano a , la sucesión obtenida iterando la función

converge a . Cuán cerca es "bastante cerca" es a veces una cuestión sutil.

La función coseno natural ( "natural" significa en radianes, no grados u otras unidades) tiene exactamente un punto fijo atractivo. En este caso "bastante cerca" no es nada restrictivo, para verlo se puede empezar con cualquier número real y pulsar repetidamente la tecla "cos" de la calculadora. El resultado converge rápidamente a 0,73908513, que es un punto fijo. Aquí es donde la gráfica de la función coseno interseca a la recta . No todos los puntos fijos son atractivos: por ejemplo, es un punto fijo de la función , pero la iteración de esta función para cualquier punto distinto de cero diverge rápidamente. Ahora bien, si la función es continuamente derivable en un entorno abierto del punto fijo , y , entonces la atracción está garantizada. Los puntos fijos atractivos son un caso especial de atractores, que es un concepto matemático más amplio (que el de punto fijo atractivo.)

Se dice que un punto fijo atractivo es un punto fijo estable si es también Lyapunov estable ..

Se dice que un punto fijo estable es neutralmente estable si es Lyapunov estable pero no atrayente. El centro de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es un ejemplo de un punto fijo neutralmente estable.

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