Punto del infinito

fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP1)" con el punto del infinito , genera una curva cerrada.

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real, , que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

Topología T

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en la topología formada por todos los conjuntos:

  • A, que son abiertos de
  • B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de .

Los conjuntos A son los abiertos de que no contienen el : mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea una sucesión de números reales tales que . Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

Pero esta misma condición implica en que

Es decir, que en se escribe también . Sin embargo, sólo en se puede decir que la sucesión converge, puesto que .

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