Punto de acumulación

En topología, el concepto de punto de acumulación (también denominado de contacto o límite o punto de aglomeración [1] ) de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Informalmente hablando, un punto de acumulación de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser aproximado por puntos de S distintos a x tanto como se desee.

Este concepto generaliza la noción de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación, y la operación topológica de cerradura puede considerarse como el resultado de agregar a un conjunto todos sus puntos de acumulación.

Definición

Si S es un subconjunto de un espacio topológico X, un punto es un punto de acumulación de S si cualquier conjunto abierto que contenga a x contiene otro punto distinto de x. Es decir, cualquier vecindad de x contiene un punto de S distinto a x.

Ejemplos
  • El intervalo tiene como puntos de acumulación a todos los puntos del intervalo .
  • Un conjunto finito de números reales en la topología estándar no tiene puntos de acumulación.
  • Sin embargo, cualquier número es un punto de acumulación de un conjunto finito en la topología indiscreta de los números reales.
  • no tiene puntos de acumulación cuando se considera como subconjunto de en la topología estándar. Por lo tanto, cada punto en es aislado.
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