Producto vectorial

Esquema

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial y se denota mediante , por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:[1]

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Producto Vectorial según el ángulo entre vectores

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Precisiones

Se denomina producto vectorial del vector a por el vector b [2] al vector denotado por y definido por las tres exigencias siguientes:

  • el módulo de es igual al módulo de a por módulo de b por , en donde es el ángulo orientado formado por los vectores a y b
  • el vector es perpendicular a cada uno de los vectores a y b
  • la dirección del vector respecto a los vectores a y b es igual que la del eje coordenado Oz respecto a los ejes coordenados Ox y Oy, como si girase de Ox a Oy y avanzase en la dirección positiva de Oz.

Producto vectorial de dos vectores

Producto vectorial.

Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:


Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

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