Producto exterior

Teoría Grassmann

La teoría algebraica se remonta a Hermann Grassmann. Su método de construir las estructuras algebraicas utilizó generadores y relaciones y no es manifiestamente independiente de una base. Grassmann utilizó solamente las álgebras reales, es decir las álgebras en que los escalares son los números reales (él no hizo ninguna distinción entre los números reales y las funciones a valores reales, lo que sin embargo cambia la teoría algebraica drásticamente.) Sin embargo, seguimos esta actitud aquí y damos las definiciones para algunos de sus productos: producto (definición general):

Un producto es una función lineal del producto tensorial de un espacio con sí mismo en un espacio lineal.

'Nota:' tal producto es distributivo, (a izquierda y derecha) pero puede no ser unital o asociativo.

Producto exterior (producto de la cuña):

Sea { e_i } una base de un espacio vectorial V. Un producto exterior, o producto cuña, de dos tales generadores se define exigiendo las reglas de cómputo (relaciones) siguientes:

• ${\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}=e_{ij}=-e_{ji}}$ si y solamente si ${\displaystyle i\neq j}$
• ${\displaystyle e_{i}\wedge e_{i}=0}$

y se amplía este proceso recursivamente a los productos de un grado más alto vía

• ${\displaystyle e_{i}\wedge e_{j..k}=e_{ij..k}=-e_{ji..k}}$ etc.

Nótese que el producto toma valores en un nuevo espacio V ∧ V (índice doble) que sea un espacio factor del producto tensorial ${\displaystyle V\otimes V}$. El producto es asociativo por definición y alternante, es decir se anula si dos índices son iguales. Un cálculo combinatorio breve demuestra que a partir de n vectores de base se obtienen 2ⁿ productos linealmente independientes. Estos productos construyen el espacio ${\displaystyle V^{\wedge }}$ vectorial subyacente a un álgebra de Grassmann (véase abajo). El producto exterior se extiende al espacio entero ${\displaystyle V^{\wedge }}$ por bilinealidad. El álgebra de Grassmann es un álgebra graduada. Definimos el grado de los escalares como cero y el grado de los vectores de base como 1. El grado de un producto diferente a cero de generadores cuenta el número de generadores. El espacio de un álgebra de Grassmann se puede por lo tanto descomponer en una suma directa de subespacios homogéneos de grado definido, es decir el espacio expandido por todos los productos que tienen exactamente k generadores:

${\displaystyle V^{\wedge }=V^{\wedge 0}\oplus V^{\wedge 1}\oplus \cdots \oplus V^{\wedge n}}$

donde ${\displaystyle V^{\wedge 0}}$ se identifica con ${\displaystyle \mathbb {R} }$, los números reales