Producto directo

En teoría de grupos, el producto directo de dos grupos (G,*) y (H,·), denotado por G × H, es una forma natural de darle una estructura de grupo al producto cartesiano de los dos conjuntos. En el caso de grupos abelianos con notación aditiva, también se le llama suma directa, y se denota por .

Definición

El producto directo se define como sigue:

  • Como conjunto de elementos del nuevo grupo, tómese el producto cartesiano de los conjuntos G y H; es decir, {(g, h)| gG, hH}.
  • Como operación entre estos elementos, defínase:

Esta construcción produce un nuevo grupo, con un subgrupo normal isomorfo a G (el conformado por los elementos de la forma (g,1H)), y otro isomorfo a H (formado por los elementos (1G,h)).

El argumento inverso también vale, como demuestra el siguiente teorema: si un grupo K contiene dos subgrupos normales G y H, tales que K = GH, y GH = {1}, entonces K es isomorfo a G × H. Al debilitar estas condiciones se obtiene el producto semidirecto.

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