Producto cartesiano

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

y

su producto cartesiano es:

que se representa:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.[1]

Definición

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.

El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros.

Ejemplos

Números enteros

Sea el conjunto de también de los todos los ...


números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la 
recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un 
plano cartesiano (en la imagen).
Pintura y pinceles

Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

Correspon T0.svg, Correspon T1.svg, Correspon T2.svg, Correspon T3.svg
Correspon P0.svg, Correspon P1.svg, Correspon P2.svg, Correspon P3.svg, Correspon P4.svg

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:

Correspon P4.svg CorresCartesi 40.svg CorresCartesi 41.svg CorresCartesi 42.svg CorresCartesi 43.svg
Correspon P3.svg CorresCartesi 30.svg CorresCartesi 31.svg CorresCartesi 32.svg CorresCartesi 33.svg
Correspon P2.svg CorresCartesi 20.svg CorresCartesi 21.svg CorresCartesi 22.svg CorresCartesi 23.svg
Correspon P1.svg CorresCartesi 10.svg CorresCartesi 11.svg CorresCartesi 12.svg CorresCartesi 13.svg
Correspon P0.svg CorresCartesi 00.svg CorresCartesi 01.svg CorresCartesi 02.svg CorresCartesi 03.svg
Correspon T0.svg Correspon T1.svg Correspon T2.svg Correspon T3.svg
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