Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Animación que describe el proceso de ortonormalización en el espacio tridimensional.

En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero.[1] Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación geométrica

En el espacio euclídeo (R3, ·) con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean v1, v2, v3 dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.

  1. Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u1 = v1.
  2. u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.
  3. u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.

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