Proceso de Bernoulli

Un proceso de Bernoulli es la repetición de un ensayo de Bernoulli. Por ejemplo de una moneda estaremos estudiando cuántas veces sale "cara" o cuántas veces sale "cruz", o la probabilidad de que salga "cara", al menos una vez, de un número n de intentos. Es importante que se cumpla que:

  1. La probabilidad de éxito permanece constante ensayo tras ensayo.
  2. Los ensayos deben de ser independientes entre sí.

Los procesos de Bernoulli son un caso concreto de proceso estocástico de tiempo discreto. Según el problema que nos plantemeos sobre el resultado de un proceso de Bernoulli pueden surgir distintas distribuciones asociadas:

  • Si nos preguntamos sobre la probabilidad de obtener r éxitos en n ensayos, la probabilidad de que suceda en un ensayo es p, corresponde la llamada distribución binomial:
La distribución de Pascal es un caso particular de la distribución binomial negativa que requiere que los valores de n y r sean enteros, mientras que en la distribución binomial negativa r puede ser real mayor que cero y n-r entero no negativo (la fórmula que figura más arriba corresponde a la distribución de Pascal).
Cuando r=1 se obtiene la distribución geométrica.

Definición

Un proceso de Bernoulli es una secuencia finita o infinita de variables aleatorias independientes X1, X2, X3, ..., tales que

Para cada I, el valor de Xi es 0 o 1; Para todos los valores de i, la probabilidad de que Xi = 1 sea el mismo número p. En otras palabras, un proceso de Bernoulli es una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli distribuidos de forma idéntica.

La independencia de los ensayos implica que el proceso no tiene memoria. Dado que la probabilidad p es conocida, los resultados pasados no proporcionan información sobre los resultados futuros. (Si p es desconocido, sin embargo, el pasado informa sobre el futuro indirectamente, a través de inferencias acerca de p.)

Si el proceso es infinito, entonces de cualquier punto los ensayos futuros constituyen un proceso de Bernoulli idéntico al proceso entero.