Problemas de Hilbert

Los problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilada por el matemático alemán David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultarían ser muy influyentes en la matemática del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante.

Naturaleza e influencia de los problemas

Aunque se han producido intentos de repetir el éxito de la lista de Hilbert, ningún otro conjunto tan variado de problemas o conjeturas ha tenido un efecto comparable en el desarrollo del tema y obtenido una fracción importante de su celebridad. Por ejemplo, las conjeturas de André Weil son famosas pero fueron poco publicitadas. Quizá su propio temperamento evitó que él intentase ponerse en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produjo una lista, pero no obtuvo reconocimiento universal.

A primera vista, este éxito podría atribuirse a la eminencia del autor de los problemas. Hilbert estaba en la cúspide de su poder y reputación en aquel momento y continuó dirigiendo la sobresaliente escuela de matemática en la Universidad de Göttingen. Un examen más cuidadoso revela que el asunto no es tan simple.

La matemática de aquel tiempo era aún discursiva: la tendencia a sustituir palabras por símbolos y apelaciones a la intuición y conceptos mediante axiomática pura seguía subyugada, aunque se volvería fuerte durante la siguiente generación. En 1900, Hilbert no pudo acudir a la teoría axiomática de conjuntos, la integral de Lebesgue, los espacios topológicos o la tesis de Church, que cambiarían sus respectivos campos de forma permanente. El análisis funcional, fundado en cierto modo por el propio Hilbert como noción central de los testigos del espacio de Hilbert, no se había diferenciado aún del cálculo de variaciones; hay en la lista de problemas de matemática variacional, pero nada, como podría asumirse inocentemente, sobre teoría espectral (el problema 19 tiene una conexión con la hipoelipticidad).

La lista no fue predictiva en ese sentido: no consiguió plasmar o anticipar el fulgurante ascenso que experimentarían la topología, la teoría de grupos y la teoría de la medida en el siglo XX, así como no previó la manera en que iba a avanzar la lógica matemática. Por tanto, su valor documental es el de ensayo: una visión parcial, personal. Sugiere algunos programas de investigación y algunas direcciones por seguir sin fin concreto.

De hecho, muchas de las preguntas daban una falsa idea del matemático profesional del siglo XIX, o incluso de 1950, en que la forma de una solución a una buena pregunta tomaría la forma de un artículo publicado en una publicación matemática. Si este fuera el caso de todos los veintitrés problemas, se habría simplificado el comentario hasta el punto de poder dar una referencia a una revista, o considera la pregunta como abierta todavía. En algunos casos el lenguaje usado por Hilbert se sigue considerando un tanto "negociable", en cuanto al significado real de la formulación del problema (en ausencia, repetimos, de fundamentos axiomáticos, basados en matemática pura, empezando con el propio trabajo de Hilbert sobre geometría euclidiana, pasando por el Principia Mathematica, y terminando con el grupo Bourbaki y el "terrorismo intelectual" para terminar el trabajo). Los problemas Primero y Quinto se encuentran, quizá sorprendentemente, en un estado de formulación de una claridad menos que total (véanse las notas). En casos como el Vigésimo, el problema se podría leer de forma razonable en una versión "interna", relativamente accesible, en la que el lector puede saber a qué estaba apuntando Hilbert; o como una penumbra "externa" y especulativa.

Dicho todo esto, por tanto, la razón más importante es la gran rapidez con la que aceptó la lista de Hilbert la comunidad matemática de aquel momento (lo cual es una fórmula menos convencional que ahora, ya que por entonces había pocos líderes investigadores, que generalmente se encontraban en unos pocos países europeos y se conocían todos entre ellos). Los problemas se estudiaron con gran atención; resolver uno labró reputaciones.

El estilo fue al menos tan influyente como el contenido de los problemas. Hilbert solicitaba clarificaciones. Pidió soluciones en principio a preguntas algorítmicas, no a algoritmos prácticos. Pidió un fortalecimiento de los cimientos de partes de la matemática que a los no practicantes aún se antojaban guiadas por intuiciones opacas (el cálculo de Schubert y la geometría enumerativa).

Estas actitudes fueron adoptadas por muchos seguidores, aunque también fueron discutidas, y continúan siéndolo. Treinta años después, Hilbert había endurecido su postura: véase ignorabimus.

Other Languages
العربية: مسائل هيلبرت
Bahasa Indonesia: Masalah Hilbert
srpskohrvatski / српскохрватски: Hilbertovi problemi
Simple English: Hilbert's problems
slovenščina: Hilbertovi problemi