Problema de los dos cuerpos

Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en órbitas elípticas.
Dos cuerpos con una pequeña diferencia de masa orbitando alrededor de su centro de masa, los tamaños dibujados son similares a los del sistema Plutón- Caronte.

En mecánica, el problema de los dos cuerpos consiste en determinar el movimiento de dos partículas puntuales que sólo interactúan entre sí. Los ejemplos comunes incluyen la Luna orbitando la Tierra y en ausencia del Sol, es decir aislados, un planeta orbitando una estrella, dos estrellas que giran en torno al centro de masas ( estrella binaria), y un electrón orbitando en torno a un núcleo atómico.

Como se explica más adelante, las Leyes de Newton nos permite reducir el problema de dos-cuerpos a un problema de un-cuerpo equivalente, es decir, a resolver el movimiento de una partícula sometida a un campo gravitatorio conservativo y que por tanto deriva de un potencial externo. Dado que el problema puede resolverse exactamente, el problema del dos-cuerpos correspondiente también puede resolverse con exactitud. Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de cuerpos con ) no puede resolverse, excepto en casos especiales.

Descripción del problema

Sean y las posiciones de dos cuerpos, y y sus masas. La segunda ley de Newton determina que

donde es la fuerza en la masa 1 debido a su interacción con la masa 2, y es la fuerza en masa 2 respecto a la masa 1.

Nuestro objetivo es determinar las trayectorias y en todo instante , dadas las posiciones iniciales y y las velocidades iniciales y (12 constantes en total). Un truco importante para resolver el problema de dos-cuerpos es sumar y restar estas dos ecuaciones que descompone el problema en dos problemas. La suma produce una ecuación que describe el movimiento del centro de masas, y la resta da una ecuación que describe cómo varía con el tiempo el vector de posición entre las dos masas. Al combinar las soluciones a estos dos problemas de un-cuerpo se obtienen las soluciones de las trayectorias y .

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