Problema de Monty Hall

En el concurso la búsqueda de un nuevo coche tras las puertas, el jugador elige inicialmente la puerta 1. El presentador le abre la puerta 3, le revela que hay una cabra y le ofrece la posibilidad de elegir la puerta 2 en vez de la 1.

El problema de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato). El problema fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso: Monty Hall.

La premisa

El concursante debe elegir una puerta entre tres (todas cerradas); el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos en la que haya una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones). ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta generó un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir la intuición, es aparentemente una paradoja.

La premisa original

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, extraído de una carta [1] de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore y Nydick).

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (agosto de 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término "problema de Monty Hall".

Un problema análogo denominado " problema de los tres prisioneros" apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original.

Una forma de visualizar la mejor estrategia, si cambiar o no, es observar que la frecuencia de veces en que el vehículo esté en la primera puerta elegida es 1 de cada 3 y de que esté en alguna de las otras dos no elegidas, es 2 de cada 3.

La frecuencia de veces que el vehículo esté en la primera puerta no cambia cuando el conductor, indica, de las 2 puertas no elegidas, cual tiene la cabra. Entonces la frecuencia de cambiar es ganadora 2 de cada 3 veces, mientras que la de no cambiar es ganadora 1 de cada 3 veces.

La premisa completa

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

  • Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger una entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
  • Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
  • Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?

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