Problema de Basilea

El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema debe su nombre a la ciudad de residencia de Euler ( Basilea), ciudad donde vivía también la familia Bernoulli, que trató el problema sin éxito.

El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita:

Numéricamente, se puede obtener que la serie es aproximadamente igual a 1,644934. Sin embargo, el problema de Basilea busca la suma exacta de la serie, de forma cerrada, así como una demostración de que dicha suma es correcta. Euler encontró que la suma exacta era π2/6 y anunció su descubrimiento en 1735. Sus argumentos estaban basados en manipulaciones que no estaban aún justificadas, y no fue hasta 1741 cuando pudo dar una demostración verdaderamente rigurosa.

Aunque es poco conocido, esta suma puede escribirse, en forma de integral, como función de dos variables. A menudo, se coloca como ejercicio para estudiantes de matemáticas:

Euler trata el problema

El método inicial de Euler para la obtención del valor π2/6 es original e ingenioso. En esencia, lo que hizo fue extender resultados aplicables a polinomios finitos, considerándolos también válidos para series infinitas. Claro está que el razonamiento de Euler requiere justificación, pero aun sin ella, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente frente a sumas parciales de la serie. La concordancia observada le dio suficiente confianza como para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

Para seguir el razonamiento de Euler, hay que recordar el desarrollo en serie de Taylor de la función seno:

Dividiendo por x, se obtiene

Ahora bien, las raíces (ceros) de sin(x)/x se encuentran precisamente en , donde n = ±1, ±2, ±3... Asúmase que se puede expresar esta serie infinita como producto de factores lineales dados por las raíces, de la misma forma que se hace con los polinomios finitos:

, por tanto

Realizando este producto y agrupando todos los términos en x2, resulta que el coeficiente de x2 para la función sin(x)/x es

Pero del desarrollo en serie de Taylor original de sin(x)/x, se obtiene que el coeficiente de x2 es −1/(3!) = −1/6. Estos dos coeficientes deben ser iguales (por el teorema de unicidad del desarrollo en serie); por tanto,

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por −π2 obtenemos la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos.

Other Languages
العربية: معضلة بازل
azərbaycanca: Bazel problemi
English: Basel problem
עברית: בעיית בזל
한국어: 바젤 문제
Nederlands: Bazel-probleem
norsk bokmål: Baselproblemet
slovenščina: Baselski problem
српски / srpski: Базелски проблем
Türkçe: Basel problemi
українська: Проблема Базеля