Prisma mecánico

Un prisma mecánico o pieza prismática es un modelo mecánico de sólido deformable, usado para calcular elementos estructurales como vigas y pilares. Geométricamente un prisma mecánico puede generarse al mover una sección transversal plana a lo largo de una curva, de tal manera que el centro de masa de la sección esté en todo momento sobre la curva y el vector tangente a la curva sea perpendicular a la sección transversal plana. Podemos dar algunos ejemplos de elementos estructurales con forma de prismas mecánicos:

  • Un cilindro por ejemplo es una pieza prismática generada por un círculo que se desplaza a lo largo de una línea recta vertical.
  • Un tubo (curvado o recto) es una pieza prismática generada por una corona circular moviéndose a lo largo de una curva suave.
  • Una viga recta de sección transversal constante es geométricamente un prisma mecánico.

Una pieza prismática queda caracterizada por su eje baricéntrico (la curva a lo largo de la cual se desplaza la sección transversal), su sección transversal (la forma del corte según un plano perpendicular al eje) y el material en el que está fabricada.


Descripción geométrica

El eje baricéntrico o línea baricéntrica es el lugar geométrico de los baricentros o centros de gravedad de las diversas secciones transversales que componen una pieza prismática. En una pieza prismática tanto la geometría como las magnitudes mecánicas (tensión, esfuerzo, deformación) se calculan a partir de las correspondientes magnitudes sobre eje baricéntrico. Y la hipótesis cinemática liga las magnitudes de puntos de fuera del eje con las correspondientes magnitudes sobre el eje baricéntrico.

Coordenadas baricéntricas

Dado un prisma mecánico , si llamamos al eje (que puede ser recto o curvo) y a la forma de la sección transversal de una pieza prismática, topológicamente la geometría de la misma es: . Cuando la pieza es de eje recto no existe mayor problema en usar un conjunto de coordenadas cartesianas, aunque cuando la pieza tiene un eje curvo conviene definir un sistema de coordenadas curvilíneas diferentes. De hecho, para una pieza prismática (recta o curva) puede construirse un sistema de coordenadas ortogonales (s, y, z) de tal manera que s represente la longitud de arco a lo largo de la curva E e (y, z) sean coordenadas sobre la sección transversal y el vector de posición r de cualquier punto de la pieza prismática puede expersarse como:

Donde los vectores t, n y b son los vectores tangente, normal y binormal del triedro de Frênet-Serret del punto r(s, x, y) de la curva E; χ y τ son respectivamente la curvatura geométrica y la torsión geométrica del eje de la pieza prismática. La relación entre las coordenadas curvilíneas ortogonales (s, y, z) y las coordenadas cartesinas (X, Y, Z) del espacio tridimensional en el que se encuentra la pieza prismática es:

El sistema de coordenadas anterior para la pieza estará bien definido para puntos tales que:

La primera condición es de tipo matemático y tiene que ver con la validez del cambo de coordenadas, más formalmente el jacobiano del cambio de coordenadas resulta ser positivo si:

Por tanto el sistema valdrá como se ha dicho para vigas en que el canto o espesor en la dirección de curvatura sea pequeño comparado con el radio de curvatura. La segunda condición es de tipo físico y es la que aseguraría que la sección transversal permanece indeformable, que es la hipótesis común en la teoría de vigas.

Magnitudes geométricas de la sección

En el cálculo de los esfuerzos sobre una sección resistente, intervienen diversas mangitudes geométricas. Las mangitudes geométricas son el área (A), los momentos estáticos (Sy, Sz), los momentos de inercia de la sección (Iy, Iz, Iyz), el módulo de torsión (J) y el momento de alabeo (Iω). Todas estas cantidades son definibles en términos de la forma de la sección y el alabeo seccional ω, mediante las siguientes fórmulas:

Una vez definido el centro de cortante se definen las magnitudes adicionales:

El significado de estas magnitudes queda claro cuando se considera la relación entre los esfuerzos y los desplazamientos. Tomando dos secciones de dos piezas prismáticas sometidas a los mismos esfuerzos, puede verse que cuanto mayor sea alguna de las mangitudes anterior menores serán los desplazamientos, deformaciones y tensiones sobre dicha sección.

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