Principio del tercero excluido

El principio del tercero excluido, propuesto y formalizado por Aristóteles, también llamado principio del tercero excluso o en latín principium tertii exclusi (también conocido como tertium non datur o una tercera (cosa) no se da), es un principio de lógica clásica según el cual la disyunción de una proposición y de su negación es siempre verdadera.[3]

En la lógica proposicional, el principio del tercero excluido se expresa:

donde A no es una fórmula del lenguaje, sino una metavariable que representa a cualquier fórmula del lenguaje.

En la lógica aristotélica, se distingue entre juicios contradictorios y juicios contrarios. Dados dos juicios contradictorios, no puede darse un juicio intermedio, pero sí en cambio entre dos juicios contrarios. Por ejemplo, si se afirma "Juan es bueno" y "esta proposición es verdadera", entonces los juicios contradictorios son "Juan no es bueno" y "esta proposición no es verdadera", y no hay posibilidad de un juicio intermedio. Pero en cambio, los juicios contrarios son Juan es malo y esta proposición es falsa, y entonces sí cabe la posibilidad de otros juicios intermedios, como "Juan es más o menos bueno" y "esta proposición es probablemente falsa".[4]

Según Stuart Mill, la frase "abracadabra es una segunda intención" no es ni verdadera ni falsa, sino que carece de sentido.[5]

La negación del principio del tercero excluido de un sistema lógico da lugar a las llamadas lógicas polivalentes.

“es imposible que lo mismo se dé y no se dé en lo mismo a la vez y en el mismo sentido…” Aristóteles. Metafísica 1005b15

Principio del tercero excluido en la Matemática

A lo largo de la historia, diferentes matemáticos han tratado de explicar esta ley en diferentes ámbitos. Los más importantes han sido:

  • La posición de L.E.J Brouwer, quien afirma que este principio no debería nunca ser considerado como un principio lógico admisible, dudando así en el valor de verdad de este principio. Expone que por el hecho de existir en ocasiones comparaciones entre conjuntos finitos e infinitos, el concepto se ha extendido a la matemática de las clases infinitas. En relación con la geometría, afirmar un teorema o postulado no es una tarea sencilla, pues se debe escoger siempre una solución basada en la simplicidad y el servicio.
  • Barzin y Errera. Barzin y Errera; sin embargo llegan a la conclusión que el sistema lógica propuesto por Brouwer conduce a contradicción. Su posición era errónea, hecho que se refleja mediante la demostración de reducción al absurdo, que muestra como la negación del tercio excluso lleva a contradicciones. El método de reducción a lo absurdo lleva de manera imp licita el principio del tercio excluído y no puede ser usado en contra de uno que no lo emplee.
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