Principio de acción

En física, el principio de acción es una aserción sobre la naturaleza del movimiento o trayectoria de un objeto o más generalmente la evolución temporal de un sistema físico, sometido a acciones predeterminadas.

De acuerdo con este principio existe una función escalar definida por una integral invariante llamada integral de acción, tal que, sobre la "trayectoria" temporal del sistema, esta función toma valores extremos. Por ejemplo en mecánica clásica la trayectoria real que seguirá una partícula es precisamente aquella que rinde un valor estacionario de la acción. La acción es una magnitud física escalar, representable por un número, con dimensiones de energía · tiempo. El principio es una teoría simple, general, y de gran alcance para predecir el movimiento en todas las áreas de la física. Extensiones del principio de acción describen la mecánica relativista, la mecánica cuántica, el electromagnetismo.

El principio también se llama principio de acción estacionaria y principio de menor acción o principio de mínima acción (aunque esta forma es menos general y de hecho para ciertos sistemas es incorrecto hablar de mínima acción). Restringido a la mecánica clásica el principio admite una formulación particular conocida como principio de Hamilton.

Historia

El principio de menor acción primero fue formulado por Maupertuis en 1746 y después desarrollado (de 1748 en adelante) por los matemáticos Euler, Lagrange, y Hamilton. Maupertuis llegó a este principio por la sensación de que la misma perfección del universo exige cierta economía en la naturaleza y está opuesta a cualquier gasto innecesario de energía. Los movimientos naturales deben usar alguna cantidad al mínimo. Era solamente necesario encontrar esa cantidad, y esto procedió a hacer. Era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la "vis viva" (violencia o fuerza viva) o dos veces lo qué ahora llamamos la energía cinética del sistema. Euler (en "Reflexions sur quelques lois générales de la nature.", 1748) adopta el principio de la menor acción, llamando a la cantidad "effort". Su expresión corresponde a lo que ahora llamaríamos energía potencial, de modo que su declaración de menor acción en estática es equivalente al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que reduzca al mínimo su energía potencial total.

Importancia en física moderna

El principio de acción surgió en el contexto de la mecánica clásica, como una generalización de las leyes de Newton. De hecho en sistemas inerciales el principio de mínima acción y las leyes de Newton son equivalentes. Sin embargo, la mayor facilidad para generalizar el principio de acción lo hace preferible en cierto tipo de aplicaciones complejas, lo cual hace que el principio ocupe un papel central en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones en ciencia física. En particular, se lo aprecia completamente y se lo entiende mejor dentro de la mecánica cuántica o la teoría de campos. La formulación de Feynman de la mecánica cuántica se basa en un principio de acción estacionaria, usando integrales de trayectorias. Las ecuaciones de Maxwell puede ser derivadas como condiciones de una acción estacionaria.

Esquema de la curvatura del espacio-tiempo alrededor de una fuente de fuerza de gravedad.

Muchos problemas en física se pueden representar y solucionar en la forma de un principio de acción, tal como encontrar la manera más rápida de descender a la playa para alcanzar a una persona que se ahoga. El agua cayendo por los declives busca la pendiente más escarpada, la manera más rápida de llegar abajo, y agua que corre en una cuenca se distribuye de modo que su superficie sea tan baja como sea posible. La luz encuentra la trayectoria más rápida a través de un sistema óptico (el principio de Fermat de menor tiempo). La trayectoria de un cuerpo en un campo gravitacional (es decir, caída libre en el espacio-tiempo, una, así llamada, geodésica) se puede encontrar usando el principio de acción.

Las simetrías en una situación física se pueden tratar mejor con el principio de acción, junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange que se derivan del principio de acción. Por ejemplo, el teorema de Emmy Noether que asignatura que toda simetría continua en una situación física corresponde a una ley de conservación. Esta conexión profunda, sin embargo, requiere asumir el principio de acción.

En mecánica clásica (no-relativista, no cuántica), la elección correcta de la acción puede ser derivada de las leyes de Newton del movimiento. Inversamente, el principio de acción prueba la ecuación de Newton del movimiento dada la elección correcta de la acción. Por tanto en mecánica clásica el principio de acción es equivalente a la ecuación de Newton del movimiento. El uso del principio de acción es a menudo más simple que el uso directo de la ecuación de Newton del movimiento. El principio de acción es una teoría escalar, con derivaciones y aplicaciones que emplean cálculo elemental..

El principio de acción en la mecánica clásica

Las leyes de Newton del movimiento se puede establecer de varias maneras alternativas. Una de ellas es el formalismo lagrangiano, también llamada mecánica lagrangiana. Que lo enunciaremos en coordenadas generalizadas, para así poder usar cartesinas, polares o esféricas, según requiera el sistema a tratar. Si denotamos la trayectoria de una partícula en función del tiempo t como q(t), con una velocidad , entonces el lagrangiano es una función dependiente de estas cantidades y posiblemente también explícitamente del tiempo:

la integral de acción S es la integral temporal del lagrangiano entre un punto de partida dado en el tiempo y un punto final dado en el tiempo

En mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es derivada encontrando la trayectoria para la cual la integral de acción S es estacionaria (un mínimo o un punto de ensilladura). La integral de acción es una funcional (una función dependiendo de una función, en este caso ).

Para un sistema con fuerzas conservativas (fuerzas que se pueden describir en términos de un potencial, como la fuerza gravitacional y no como las fuerzas de fricción), la elección de un lagrangiano como la energía cinética menos la energía potencial da lugar a las leyes correctas de la mecánica de Newton (notar que la suma de la energía cinética y la potencial es la energía total del sistema).

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