Principio de Fermat

De los tres rayos luminosos que salen del punto morado sólo los que hagan el camino óptico un extremal (máximo o mínimo) serán trayectorias reales de la luz.

El principio de Fermat, en óptica, es un principio de tipo extremal y que establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.

Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos y por medio de una funcional llamada camino óptico definida como la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales. En esta forma, el principio de Fermat recuerda al principio de Hamilton o a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

El principio en su forma moderna fue declarado por Pierre de Fermat en una carta de 1662, de ahí que lleve su nombre.

Siguen ahora algunos ejemplos de la aplicación del principio para deducir las leyes de la óptica geométrica.

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso

La ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso real en un sistema óptico es:

y se deduce a partir del principio de Fermat.

Deducción de la ecuación
Aplicando el principio de Fermat, toda variación sobre una trayectoria de un rayo luminosos real debe ser nula. Por tanto;

Cuando la variación sobre los extremos no existe queda que:

por tanto el integrando debe anularse y queda la ecuación de la trayectoria.

La interpretación de la ecuación es importante. La trayectoria permanece en el plano en el que varía el índice de refracción . Eso puede observarse escribiendo la ecuación en términos de los vectores unitarios y :

siendo el radio de la circunferencia osculatriz en el punto a la trayectoria.

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