Potenciación

Gráfica de varias funciones potencia, función cuadrática y función cúbica.

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.

Definición

Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

( 1)

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

Ejemplos:

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:


Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

si n es par.

si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

( 2)

Observación

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,[1] esto es:

De forma extendida aparecen 3 casos:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:[3]

El caso particular de , en principio, no está definido [ cita requerida] (ver cero).

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

O de forma extendida:


Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

Exponente racional

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

( 3)

Observación

En general para las fracciones se define que:

( 4)

Relación

Propiedades

Exponente real

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define

.

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R+, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Propiedades

Exponente complejo

Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así donde det-exp es la determinación de la exponencial y det-log la determinación del logaritmo.

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