Politopo regular

Un dodecaedro, uno de los cinco sólidos platónicos.

En matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría.

Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones incluyen los sólidos platónicos ( poliedros regulares). Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas. La fuerte simetría de los politopos regulares les otorga una cualidad estética que interesa tanto a matemáticos como a legos.

Muchos politopos regulares existen en la naturaleza y han sido conocidos desde la prehistoria. El más antiguo tratamiento matemático de esos objetos viene de los antiguos matemáticos griegos tales como Euclides. Verdaderamente, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, publicándolo con el nombre de Elementos de Euclides, en el cuál construyó una teoría lógica de la geometría y de la teoría de los números. Su trabajo concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos Platónicos.

La definición de los politopos regulares permaneció estática por muchos siglos después de Euclides. La historia del estudio de los politopos regulares ha sido una donde la definición fue ampliada, permitiendo más y más diferentes objetos a ser considerados entre su conjunto. Los cinco sólidos Platónicos fueron unidos, hacia la mitad del segundo milenio, por los poliedros de Kepler-Poinsot. Al final del siglo XIX los matemáticos habían empezado a considerar politopos regulares en cuatro y más dimensiones, tal como el teseracto o hipercubo y el 24cell. El último es difícil de visualizar, pero aún retiene el placer estético simétrico de sus primos de menores dimensiones. Más difíciles aún de imaginar son los más modernos politopos regulares abstractos tal como el 57cell o el 11cell. Los matemáticos que estudian tales objetos insisten, sin embargo, que las cualidades estéticas de esos objetos permanecen.

Evolución del concepto

Prehistoria

A los antiguos matemáticos griegos se les atribuye normalmente el descubrimiento de los poliedros regulares. Los primeros registros escritos vienen de autores griegos, quiénes también formularon la primera descripción matemática.

En el mar Mediterráneo hubo otra civilización, la Etrusca que parece haber precedido a los griegos en el conocimiento de al menos uno de esos poliedros regulares, como se evidenció tras el descubrimiento cercano a Padua (en el norte de Italia) a finales del 1800 de un dodecaedro hecho de piedra jabón que data de hace más de 2.500 años (Lindemann, 1987). Se puede argumentar, sin embargo, que la construcción de ésta forma fue inspirada por el piritoedro (mencionado más adelante en éste artículo), pues los minerales de pirita son relativamente abundantes en ésa parte del mundo.

Previamente aún a los Etruscos, se han encontrado, en Escocia piedras talladas con formas que muestran la simetría de los cinco sólidos platónicos. Esas piedras están datadas con unos 4,000 años de antigüedad. Muestran no sólo la forma de cada uno de los sólidos platónicos sino también las relaciones de dualidad entre ellos (esto es, que los centros de las caras del cubo dan lugar a los vértices de un octaedro, etc.) La página de John Evans en el Ashmolean Museum en la Universidad de Oxford muestra ejemplos de estos poliedros. Con todo, resulta imposible saber porqué se hicieron ésos objetos o en qué se inspiró el escultor.

No hay pruebas de que los Etruscos o los antiguos escoceses tuvieran algún entendimiento matemático de los sólidos regulares ni tampoco existe prueba alguna de que no los tuvieran. La raíz del descubrimiento humano de los politopos tridimensionales, particularmente de los más simples, es seguramente imposible de rastrear. En todo caso, es el tratamiento que los antiguos matemáticos griegos dieron a los sólidos platónicos lo que ha llegado hasta nosotros y ha inspirado nuestros modernos cálculos matemáticos sobre ellos.

Grecia antigua

Algunos autores (Sanford, 1930) atribuyen a Pitágoras ( 550 a. C.) la caracterización de los sólidos platónicos, mientras que otros indican que solamente tuvo conocimiento del tetraedro, el cubo y el dodecaedro, correspondiendo el descubrimiento de los otros dos a Teateto, quién formuló una descripción matemática de los cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclides, libro XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, sección 1.9) afirma que Platón ( 400 a. C.) habría hecho ya modelos de ellos, y menciona que uno de los primeros pitagóricos usó los cinco sólidos dando una correspondencia entre los poliedros y la naturaleza del universo tal y como era percibido. Es de Platón de donde se deriva el término de sólidos Platónicos.

Poliedros estrella

Por casi 2000 años, el concepto de un politopo regular permaneció tal y como lo desarrollaron los antiguos matemáticos griegos. Se puede caracterizar la definición griega como sigue:

  • Un polígono regular es una figura plana convexa cuyos lados y esquinas son iguales.
  • Un poliedro regular es una figura sólida convexa cuyas caras son polígonos regulares iguales cuyos vértices se tocan con el mismo número de polígonos.

Esta definición descarta, por ejemplo, a la pirámide cuadrada en la cual aunque todas las caras son regulares, la base cuadrada no es congruente a los lados triangulares, o en la figura formada al unir dos tetraedros por una de sus caras dónde aunque todas las caras son triángulos equiláteros regulares e iguales entre sí, algunos vértices unen tres triángulos y otros cuatro.

Finalmente, a principios del siglo XV, la siguiente generación de politopos regulares empezó a emerger. Los poliedros estrellados regulares son llamados sólidos de Kepler-Poinsot en honor a Johannes Kepler y Louis Poinsot. Estas figuras contienen polígonos regulares no-convexos, llamados pentagramas, formando caras que rodean los vértices. Los dos poliedros de Kepler fueron construidos por otros antes de él pero Kepler fue el primero en ver que se podían considerar como "regulares" si no se tenía en cuenta la restricción de que los politopos regulares han de ser convexos. Más tarde, Poinsot descubrió los dos que faltaban. Cayley les dio nombres ingleses que fueron aceptados. Los de Kepler se llamaron pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y los de Poinsot gran icosaedro y gran dodecaedro.

Los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden construïr a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estrellamiento. Muchas estrellaciones no son regulares. El estudio de las estrellaciones de los sólidos platónicos tomó fuerte impulso por gracias H.S.M. Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo El icosaedro 59. Este trabajo ha sido recientemente republicado (Coxeter, 1999).

El proceso reciproco del estrellamiento es el facetado. Cada estrellamiento de un politopo es dual, o recíproca, a algún facetado del politopo dual. Los poliedros regulares estrellados pueden también ser obtenidos al facetar los sólidos platónicos. N.J. Bridge ( 1974) clasificó los facetados más simples del dodecaedro, y al buscar sus recíprocos descubrió un estrellamiento del icosaedro que no aparecía en el famoso artículo El icosaedro 59. Se han descubierto más poliedros estrellados desde entonces, y la historia aún continúa.

Politopos de más dimensiones

No fue hasta el siglo XIX cuando un matemático suizo, Ludwig Schläfli, examinó y caracterizó los politopos regulares de más dimensiones. Sus esfuerzos fueron publicados por entero seis años después de su muerte (Schläfli, 1901), aunque partes de su investigación ya habían sido publicadas en 1855 y 1858 (Schläfli, 1855), (Schläfli, 1858). Entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos independientemente por al menos otros nueve matemáticos (ver (Coxeter, 1948, pp. 143-144) para más detalles).

La última referencia es, probablemente, el tratamiento impreso más claro de los resultados de Schläfli y otros hasta la fecha. Schläfli mostró que hay seis politopos regulares convexos en cuatro dimensiones, y solo tres cuando las dimensiones son cinco o más (las generalizaciones del tetraedro, cubo y octaedro). Pueden encontrarse descripciones de estos en la lista de politopos regulares. También son de interés los politopos estrellados de cuatro dimensiones, no descubiertos por Schläfli, y también están descritos en la lista mencionada.

Al inicio del siglo XX, la definición de un politopo regular se estableció como sigue:

  • Un polígono regular es un polígono con todos los lados iguales y con todos los ángulos iguales.
  • Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, y con todos las figuras de vértice congruentes y regulares.
  • De la misma manera, un n-politopo regular es un politopo n-dimensional en el cual todas las caras (n−1)-dimensionales son regulares y congruentes, y en el cual los vértices figurados son todos regulares y congruentes.

La última es una definición "recursiva". Define la regularidad de figuras de dimensiones superiores en términos de figuras regulares de una dimensión inferior. Hay una definición equivalente (no-recursiva), que establece que un politopo es regular si tiene un suficiente grado de simetría.

  • Un n-politopo es regular si cualquier lista consistente de un vértice, un lado que lo contiene, una cara bidimensional que cntiene a ambos, y así hasta n − 1 dimensiones pueden ser proyectado a cualquier otro por una simetría del politopo.

Así, por ejemplo, el cubo es regular porque si escogemos un vértice del cubo, uno de los tres lados adyacentes y una de las dos caras conteniendo el lado, entonces ésta tripleta (vértice, lado, cara) puede ser proyectada a cualquier otra tripleta por una simetría adecuada del cubo.

Politopos regulares abstractos

En el siglo XX, se realizaron algunos desarrollos importantes. Los grupos de simetría de los politopos regulares clásicos se generalizaron en lo que ahora se denominan grupos de Coxeter. Los grupos de Coxeter también incluyen los grupos simétricos de teselaciones del espacio o del plano. Por ejemplo, el grupo de simetría de un infinito tablero de ajedrez sería un grupo de Coxeter.

En los años 1960 Branko Grünbaum hizo una llamada a la comunidad matemática para que se consideraran más tipos de politopos regulares abstractos a los que el llamó polistrómatas. Él desarrolló la teoría de los polistrómatas, mostrando ejemplos de nuevos objetos que el denominó apeirotopos regulares, esto es, politopos regulares con una infinidad de caras. Un ejemplo sencillo de un apeirógono pudiera ser un zig-zag. Parece satisfacer la definición de un polígono regular; todos los lados tienen la misma longitud, y todos los ángulos son iguales. Y más importante aún, hay simetrías en el zig-zag que permiten partir la figura en dos partes iguales desde cualquirer vértice.

El "hemicubo" se construye del cubo al tratar a lados opuestos (al igual que caras y esquinas) como realmente el mismo lado. Tiene tres caras, seis lados y cuatro esquinas.

Grünbaum también descubrió el 11-cell, un bello poliedro tetradimensional autodual. El 11-cell es un objeto cuyas caras no son icosaedros, sino hemi-icosaedros, es decir, tienen la forma que se obtendría si consideran las caras opuestas del icosaedro como una misma caras (Grünbaum, 1977). El hemi-icosaedro tiene solamente 10 caras triangulares y 6 vértices, a diferencia del icosaedro, que tiene 20 y 12.

Este concepto puede ser más fácil de aprehender para el lector si considera la relación del cubo con el hemicubo. Un cubo ordinario tiene 8 vértices, que pudieran ser etiquetados de A a H, con A opuesto a H, B a G, etc. En un hemicubo, A y H serían tratados como el mismo vértice; así también para B y G, etc. La arista AB vendría a ser la misma que GH, y la cara ABEF la misma cara que CDGH. La nueva forma tiene sólo tres caras, 6 aristas y 4 vértices.

Unos pocos años después del descubrimiento de Grünbaum del 11-cell, H.S.M. Coxeter descubrió la misma forma de manera independiente. Antes, Coxeter había descubierto un politopo similar, el 57-cell (Coxeter, 1982, 1984).

El estudio de los polistrómatas fue relegado cuando los matemáticos cambiaron sus intereses por otros conceptos abstractos similares, incluyendo los conceptos de edificios y geometrías, politopos abstractos, conjuntos de Euler y otros. El 11-cell y el 57-cell permanecen como importantes ejemplos de politopos abstractos regulares.

Un politopo regular abstracto es definido como un conjunto, que se supone representa un conjunto de vértices, lados y caras, etc. de un politopo, con la idea de cuáles de ésos "caen" en cuáles otros. Se imponen ciertas restricciones a los conjuntos, similares a las propiedades que deben satisfacer los politopos regulares clásicos (incluyendo los sólidos platónicos). Las restricciones, sin embargo, son suficientemente laxas para que teselaciones regulares, hemicubos, y aún objetos extraños como el 11-cell o aún más extraños, sean todos ejemplos de politopos regulares. La teoría es, en buena medida, un desarrollo de Egon Schulte y Peter McMullen (McMullen, 2002), pero otros investigadores también han realizado contribuciones.

Other Languages